Question

Obtenha a equação da reta tangente à curva dada:

a) f(x) = x² - 5x + 6, no ponto x=2.

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo diferencial.

Devemos determinar a equação da reta tangente à curva do gráfico da função $f(x)=x^2-5x+6$, no ponto $x=2$.

Primeiro, lembre-se que a equação da reta tangente à curva $\mathcal{C}$ do gráfico de uma função $f(x)$ em um ponto $(x_0,~f(x_0))$ de seu domínio $\mathcal{D}$ é dada por: $y=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$.

Então, determinamos o valor da função no ponto $x=2$

$f(2)=2^2-5\cdot2+6\\\\\\ f(2)=4-10+6\\\\\\ f(2)=0$

Agora, calculamos a derivada da função.

Diferenciamos ambos os lados da igualdade:

$(f(x))'=(x^2-5x+6)'$

Para calcular esta derivada, lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrito como: $(c\cdot g(x))'=c\cdot g'(x)$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência:$(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• Com isso, a derivada de uma constante é igual a zero: $(c)'=0,~\forall{c}\in\mathbb{R}$.

Aplique a regra da soma

$f'(x)=(x^2)'+(-5x)'+(6)'$

Aplique a regra da constante

$f'(x)=(x^2)'-5\cdot (x)'$

Aplique a regra da potência, sabendo que $x=x^1$

$f'(x)=2\cdot x^{2-1}-5\cdot 1\cdot x^{1-1}\\\\\\ f'(x)=2x-5$

Determinamos o valor desta derivada no ponto $x=2$

$f'(2)=2\cdot2-5\\\\\\ f'(2)=4-5\\\\\\ f'(2)=-1$

Substituindo estes dados na equação da reta tangente, teremos:

$y=0+(-1)\cdot(x-2)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$y=-x+2~~\checkmark$

Esta é a equação da reta tangente à curva neste ponto.