Question

Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos A (-3, 1 ) e B (5, 4).

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{y=\dfrac{3}{8}x+\dfrac{17}{8}}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para encontrarmos a equação da reta que passa pelo pontos $A~(-3,~1)$ e $B~(5,~4)$, utilizaremos matrizes.

Em geometria analítica, se igualarmos o determinante a matriz formada pelas coordenadas de dois pontos especificados e um ponto genérico a zero, temos a condição de alinhamento de três pontos.

Sejam os pontos especificados $(x_1,~y_1)$ e $(x_2,~y_2)$ e um ponto genérico $(x,~y)$, temos que

$\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x&y&1\\\end{vmatrix}=0$

Substituindo as coordenadas dos pontos A e B, obtemos o determinante

$\begin{vmatrix}-3&1&1\\5&4&1\\x&y&1\\\end{vmatrix}=0$

Para encontrarmos o determinante dessa matriz de ordem 3, utilizamos a Regra de Sarrus. Ela diz que devemos replicar as duas primeiras colunas ao seu lado e encontrar a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais que vão da esquerda para a direita e a soma dos produtos dos elementos das diagonais que vão da direita para a esquerda. Isto é:

$\left|\begin{matrix}-3 & 1 & 1\\ 5 & 4 & 1\\ x & y & 1\end{matrix}\right.\left|\begin{matrix}-3 & 1\\ 5 & 4\\ x& y\end{matrix}\right.=0$

Aplique a Regra de Sarrus

$(-3)\cdot4\cdot1 + 1\cdot1\cdot x + 1\cdot5\cdot y - (1\cdot5\cdot1 + (-3)\cdot1\cdot y + 1\cdot 4\cdot x)=0$

Multiplique os valores

$-12 + x + 5y - (5 -3y + 4x)=0$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$-12+x+5y-5+3y-4x=0$

Some e reorganize os valores

$8y-3x-17=0$

Esta é a equação geral da reta, mas podemos encontrar também a reduzida ao isolarmos $y$

$8y=3x+17$

Divida ambos os lados por 8

$y=\dfrac{3}{8}x+\dfrac{17}{8}$

Esta é a equação da reta que passa pelos pontos A e B.