Question

Obtenha a equação da reta que é perpendicular à reta $y-4=-\frac{2}{3}(x+1)$ e passa pelo ponto E, interseção entre as retas $2x+3y-12=0$ e $x+3y-6=0$.

Answer 1

De acordo com os cálculos e com os dados do enunciado, podemos afirma que  a equação da reta que é perpendicular à reta é:

$\large \displaystyle \mathsf{ 3x -2y - 18 = 0 }$

Interseção de retas:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf a_1 x_P +b_1 y_P +c_1 = 0 \\ \\ \sf a_2 x_P +b_2 y_P +c_2 = 0 \end{cases} } }$

Equação geral da reta:

$\Large \boxed{ \displaystyle \mathsf{ ax +by + c = 0 } }$

Inclinação e coeficiente angular de uma reta:

$\Large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{ m = \tan{\theta} = \dfrac{y_2 -y_1}{x_2 -x_1} } } }$

Equação da reta de coeficiente angular m e que passa por um ponto

$\boldsymbol{ \textstyle \sf P\:(\: x_0, y_0) }$:

$\Large \boxed{ \displaystyle \mathsf{ y-y_0= m\cdot (x -x_0) } }$

Equação reduzida da reta:

$\Large \boxed{ \displaystyle \mathsf{ y = m\: x +n } }$

Condição de perpendicularismo de duas retas:

$\Large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{ m_1 \cdot m_2 = -1 ~ ~ ou ~ ~ m_2 = -\:\dfrac{1}{m_1} } } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ r : y - 4 = -\: \dfrac{2}{3} \: (x + 1) \:\: \perp (s \;\cap \: t) } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ s \;\cap \: t \to \begin{cases} \sf 2x +3y - 12 = 0 \\ \sf x + 3y - 6 = 0 \end{cases} } }$

Primeiramente devemos determinar o coeficiente angular da reta r.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y - 4 = -\: \dfrac{2}{3} \: (x + 1) } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y - 4 = -\: \dfrac{2 x}{3} - \:\dfrac{2}{3} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y = -\: \dfrac{2 x}{3} - \:\dfrac{2}{3} +4 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y = -\: \dfrac{2 x}{3} - \:\dfrac{2}{3} + \dfrac{12}{3} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y = -\: \dfrac{2 x}{3} +\dfrac{10}{3} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf m_1 = -\: \dfrac{2}{3} }$

Agora devemos determinar os pontos das retas que fazem interseção.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf 2x +3y = 12 \\ \sf x+ 3y = 6 \times (-\: 1) \end{cases} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \underline{ \begin{cases} \sf 2x +3y = 12 \\ \sf -x - 3y = - 6 \end{cases}} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x = 6 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ x +3y = 6 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 6 +3y = 6 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 3y = 6 - 6 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y = \dfrac{0}{3} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf y = 0 }$

A reta r é perpendicular a as duas retas s e t, devemos determinar coeficiente.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ m_2 = -\:\dfrac{1}{ -\:\dfrac{2}{3} } } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf m_2 = \dfrac{3}{2} }$

Agora devemos determinar a equação geral da reta.

$\Large \displaystyle \mathsf{ y -y_0 = m \cdot (x - x_0) }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y - 0 = \dfrac{3}{2} \cdot (x -6) } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y = \dfrac{3 x}{2} - \dfrac{18}{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{2y}{2} = \dfrac{3 x}{2} - \dfrac{18}{2} } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 2y = 3x -18 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 3x- 18 = 2y }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf 3x -2y - 18 = 0 }$

Mais conhecimento acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/51156772

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação da reta "u", perpendicular à reta "r", passando pelo ponto de interseção "E" - interseção das retas "s" e "t" - é:

               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf u: y = \frac{3}{2}x - 9\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam as equações:

               $\Large\begin{cases} r: y - 4 = -\frac{2}{3}(x + 1)\\s: 2x + 3y - 12 = 0\\t: x + 3y - 6 = 0\\u:\:?\end{cases}$

Para calcular a equação da reta "u", sendo a mesma perpendicular à reta "r", passando pelo ponto de interseção "E" - interseção entre as retas "s" e "t" - devemos utilizar fórmula "ponto/declividade", ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$         $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - y_{E} = m_{u}\cdot(x - x_{E})\end{gathered}$

Para utilizarmos esta fórmula, devemos:

• Determinar o coeficiente angular da reta "r".

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 4 = -\frac{2}{3}(x + 1)\end{gathered}$

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 4 = -\frac{2x}{3} - \frac{2}{3}\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = -\frac{2x}{3} - \frac{2}{3} + 4\end{gathered}$      

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = \frac{-2x - 2 + 12}{3}\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = \frac{-2x + 10}{3}\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}y = -\frac{2}{3}x + \frac{10}{3}\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\: m_{r} = -\frac{2}{3}\end{gathered}$

• Calcular o coeficiente angular da reta "u".

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \textrm{Se}\:\:r\perp u\Longrightarrow m_{r}\cdot m_{u} = -1 \Longrightarrow m_{u} = -\frac{1}{m_{r}}\end{gathered} }$

         Então, temos:

                     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} m_{u} = -\frac{1}{-\frac{2}{3}} = -1\cdot\frac{3}{-2} = \frac{3}{2}\end{gathered} }$

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:m_{u} = \frac{3}{2}\end{gathered}$

• Determinar as coordenadas do ponto de interseção "E" entre as retas "s" e "t". Para isso, devemos resolver o seguinte sistema de equações:

           $\Large\begin{cases} 2x + 3y - 12 = 0\\x + 3y - 6 = 0\end{cases}\Longrightarrow \Large\begin{cases} 2x + 3y = 12\\x + 3y = 6\end{cases}$

        Isolando "x" na segunda equação do sistema, temos:

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(II)\end{gathered}$       $\Large\displaystyle\begin{gathered} x = 6 - 3y\end{gathered}$

        Substituindo o valor de "x" na primeira equação do sistema, temos:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2\cdot(6 - 3y) + 3y = 12\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} 12 - 6y + 3y = 12\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} -6y + 3y = 12 - 12\end{gathered}$

                                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} - 3y = 0\end{gathered}$

                                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = 0\end{gathered}$

         Substituindo o valor de "y" na equação "II", temos:

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} x = 6 - 3\cdot0\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} x = 6\end{gathered}$

         Portanto, o ponto de interseção "E" é:

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} E = (x, y) = (6, 0)\end{gathered}$

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:E = (6, 0)\end{gathered}$

• Montar a equação da reta "u".

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 0 = \frac{3}{2}\cdot(x - 6)\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = \frac{3}{2}x - \frac{18}{2}\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = \frac{3}{2}x - 9\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação da reta "u" é:

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} u: y = \frac{3}{2}x - 9\end{gathered}$

Saiba mais:

1. https://brainly.com.br/tarefa/51140899
2. https://brainly.com.br/tarefa/51167545
3. https://brainly.com.br/tarefa/51167657
4. https://brainly.com.br/tarefa/4672264
5. https://brainly.com.br/tarefa/46219429
6. https://brainly.com.br/tarefa/40986104
7. https://brainly.com.br/tarefa/49615153
8. https://brainly.com.br/tarefa/47873907
9. https://brainly.com.br/tarefa/46389752
10. https://brainly.com.br/tarefa/46054902
11. https://brainly.com.br/tarefa/44351845
12. https://brainly.com.br/tarefa/46301493
13. https://brainly.com.br/tarefa/19167677
14. https://brainly.com.br/tarefa/10652223
15. https://brainly.com.br/tarefa/12924615
16. https://brainly.com.br/tarefa/28184419
17. https://brainly.com.br/tarefa/48988900
18. https://brainly.com.br/tarefa/44815317
19. https://brainly.com.br/tarefa/12859394
20. https://brainly.com.br/tarefa/46745359
21. https://brainly.com.br/tarefa/51718046
22. https://brainly.com.br/tarefa/51771927
23. https://brainly.com.br/tarefa/51976572
24. https://brainly.com.br/tarefa/51942261
25. https://brainly.com.br/tarefa/51050792

Veja a solução gráfica da questão representada na figura: