Question

Obtenha a equação da esfera que passa pelos pontos A(1, 1, 0), B(0, 3, 2), C(1, 1, 1) e cujo centro está no plano x+y+z=4.

Answer 1

Resposta:

centro é (a,b,c)  ==>a+b+c=4 (iv)

passa pelos pontos A(1, 1, 0), B(0, 3, 2), C(1, 1, 1)

A equação procurada é do tipo:  

(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r²  

(1 - a)² + (1 - b)² + (0 - c)² = r²  

1-2a+a²+1-2b+b²+c²=r²

(0 - a)² + (3 - b)² + (2 - c)² = r²  

a²+9-6b+b²+4-4c+c²=r²

(1 - a)² + (1 - b)² + (1 - c)² = r²  

1-2a+a²+1-2b+b²+1-2c+c²=r²

2-2a+a²-2b+b²+c²=r² ==>a²+b²+c²-2a-2b+2=r² (i)

a²+13-6b+b²-4c+c²=r² ==> a²+b²+c²-6b-4c+13=r²(ii)

3-2a+a²-2b+b²-2c+c²=r² ==>a²+b²+c²-2a-2b-2c+3=r² (iii)

 

(i)-(ii) ==>-2a+4b+4c-11=0  (v)

(i)-(iii) ==>2c-1=0  ==>c=1/2

a+b+c=4  ==>a+b =4-1/2 ==>a+b=7/2 ==>a=7/2-b (vi)

Usando (v)

-2*(7/2-b)+4b+4*(1/2)-11=0

-7+2b+4b+2=11

6b=18  ==>b=3

Usando (vi)

a=7/2 - 3 =7/2-6/2 =1/2

centro é (a,b,c) ==>(1/2,3,1/2)

Usando (iii)

(1/2)²+3²+(1/2)²-2*1/2-2*3-2*1/2+3=r²

1/4 +9+1/4-1-6-1+3=r²

1/2+4=r²

r²=9/2

Equação da esfera:

(x - 1/2)² + (y - 3)² + (z - 1/2)² = 9/2