Question

Obtenha a derivada de cada uma das seguintes funções:
a) f(x)=cos⁡3x
b) f(x)=√(ax+b) (a,b ∈R)
c) f(x)=x^√2

Answer 1

Calcular a derivada das funções.


a)  $y=\cos 3x$

Usamos a Regra da Cadeia para funções compostas:

     $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d}{dx}(\cos 3x)\\\\\\ \dfrac{dy}{dx}=-\,\mathrm{sen\,}3x\cdot \dfrac{d}{dx}(3x)\\\\\\ \dfrac{dy}{dx}=-\,\mathrm{sen\,}3x\cdot 3$

     $\dfrac{dy}{dx}=-\,3\,\mathrm{sen\,}3x\quad\longleftarrow\quad\textsf{resposta.}$


b)  $y=\sqrt{ax+b}$       com  a, b  constantes, não ambas nulas.

     $y=(ax+b)^{1/2}$


Derive usando a regra da potência e a regra da cadeia:

     $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d}{dx}\big[(ax+b)^{1/2}\big]\\\\\\ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{2}\cdot (ax+b)^{(1/2)-1}\cdot \dfrac{d}{dx}(ax+b)\\\\\\ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{2}\cdot (ax+b)^{-1/2}\cdot a\\\\\\ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{a}{2(ax+b)^{1/2}}$

     $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{a}{2\sqrt{ax+b}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{resposta.}$


c)  $y=x^{\sqrt{2}}$   (x  elevado à raiz quadrada de  2)

Derive usando a regra da potência:

     $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d}{dx}(x^{\sqrt{2}})$

     $\dfrac{dy}{dx}=\sqrt{2}\,x^{\sqrt{2}-1}\quad\longleftarrow\quad\textsf{resposta.}$


Bons estudos! :-)