Question

Obtenha a derivada da função:

$y=cos( \frac{x}{ \sqrt{x+1} } )$

Answer 1

Bom dia joão!

Solução!

Vamos reescrever a função.

$y=cos\left ( \dfrac{x}{ \sqrt{x+1} } \right )\\\\\\\\\ y=\left ( \dfrac{cos(x)}{ \sqrt{x+1} } \right )$

Veja que se trata de uma derivada do quociente,vamos escrever suas raízes como expoente fracionário com o objetivo de simplificar no máximo a derivada


$u=cos(x)~~~~~~~v= \sqrt{x+1}=(x+1)^{ \frac{1}{2} } \\\\\\\ u'=-sen(x)~~~~~~~v'= \frac{1(x+1)^{- \frac{1}{2} } }{2}$


Vamos usar essa formula para resolver a derivada.


$y'=\left( \dfrac{u}{v} \right)'=\left \dfrac{v \times u'- u \times v'}{ (v)^{2}} \right \\\\ \\\\ y'=\left \dfrac{ (x+1)^{ \frac{1}{2} } \times -sen(x) - cos(x) \times \frac{1}{2(x+1)^{ \frac{1}{2} } } }{ [(x+1)^{\frac{1}{2} }] ^{2}} \right \\\\ \\\\ y'=\left \dfrac{2(x+1)^{ \frac{1}{2} } (x+1)^{ \frac{1}{2} } \times -sen(x) - \times \frac{cos(x)}{2(x+1)^{ \frac{1}{2} } } }{ [(x+1)^{\frac{1}{2} }] ^{2}} \right$


$y'= \dfrac{2(x+1)^{ \frac{1}{2}+ \frac{1}{2} }\times - sen(x)- cos(x)}{ \dfrac{2(x+1) ^{ \frac{1}{2}} }{[(x+1)^{ \frac{1}{2} }]^{2} } }\\\\\\\ y'= \dfrac{2(x+1)^{ }\times - sen(x)- cos(x)}{ \dfrac{2(x+1) ^{ \frac{1}{2}} }{(x+1) } }\\\\\\\ y'= \dfrac{2(x+1)\times - sen(x)- cos(x)}{2(x+1) ^{ \frac{1}{2}}\times(x+1)^{1} }\\\\\\\ y'= \dfrac{(2x+2) \times - sen(x)- cos(x)}{2(x+1) ^{ \frac{3}{2}} }\\\\\\\ y'= \dfrac{(-sen(x))\times(2x+2) + cos(x)}{2(x+1) ^{ \frac{3}{2}} }$


A rigor a derivada poderia terminar aqui mas vamos continuar.

$y'= -\dfrac{sen(x)\times 2x+sen(x)\times2 + cos(x)}{2 \sqrt{(x+1)^{3} } } }$


$\boxed{Resposta:y=\left ( \dfrac{cos(x)}{ \sqrt{x+1} } \right )= -\dfrac{sen(x)\times 2x+sen(x)\times2 + cos(x)}{2 \sqrt{(x+1)^{3} } } }}$


Bom dia !
Bons estudos!