Question

Obtendo a PA de tres termos de modo que sua soma seja 21 e seu produto 268

Answer 1

Sabemos que:

a1 + a2 + a3 = 21
a1.a2.a3 = 268

Usando o termo geral, teremos que:

a2 = a1 + r
a3 = a1 + 2r

Logo:

a1 + a1 + r + a1 + 2r = 21
3.a1 + 3.r = 21
3.(a1 + r) = 21
a1 + r = 21/3
a1 + r = 7

a1.(a1 + r).(a1 + 2r) = 268
a1.(a1² + 2.a1.r + a1.r + 2r²) = 268
a1³ + 2.a1².r + a1².r + 2.a1.r² = 268
a1³ + 3.a1².r + 2.a1.r² = 268
(a1 + r)³ - a1.r² - r³ = 268
(7)³ - a1.r² - r³ = 268
343 - a1.r² - r³ = 268
a1.r² + r³ = 343 - 268
r².(a1 + r) = 75
r².7 = 75
r² = 75/7
r = √(75/7)
r = 5√3/√7
r = (5√21)/7

Logo:

a1 + (5√21)/7 = 7
(7.a1 + 5√21)/7 = 7
7.a1 + 5√21 = 49
7.a1 = 49 - 5√21
a1 = (49 - 5√21)/7

a2 = a1 + r
a2 = (49 - 5√21)/7 + (5√21)/7
a2 = 49/7
a2 = 7

a3 = a2 + r
a3 = 7 + (5√21)/7
a3 = (49 + 5√21)/7

Portanto, nossa PA será:

PA = [a1; a2; a3]
PA = [(49 - 5√21)/7; 7; (49 + 5√21)/7]

Caso não tenha entendido alguma parte da resolução, pode perguntar.