Observe que a igualdade 360 = 90 + 120 + 150 as parcelas proporcionais a 3 4 e 5. De quantas maneiras podemos escrever 360 como a soma de três parcelas inteiras, em ordem crescente e proporcionais a três números inteiros positivos consecutivos?
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Se são 3 números inteiros consecutivos, podemos chamar um deles de x, outro de x+1 e outro de x+ 2.
Como a soma deles da 360, escrevemos a seguinte equação:
x + x + 1 + x + 2 = 360
3x + 3 = 360
3x = 357
x = 119
Logo os três números são 119, 120 (x+1) e 121 (x+2).
Resposta: 119, 120, 121
Como a soma deles da 360, escrevemos a seguinte equação:
x + x + 1 + x + 2 = 360
3x + 3 = 360
3x = 357
x = 119
Logo os três números são 119, 120 (x+1) e 121 (x+2).
Resposta: 119, 120, 121
360 = k ∙ (n−1) +k ∙ n + k ∙ (n + 1)
em que (n − 1), n e (n + 1) são os três inteiros positivos consecutivos e n é a constante de proporcionalidade.
Observe que deve ser um número inteiro não nulo para garantir que as três parcelas k∙ (n − 1), k∙ n e k ∙
(N+ 1) sejam inteiras e não nulas. Dividindo ambos os lados da igualdade acima por k, obtemos
Observe que deve ser um número inteiro não nulo para garantir que as três parcelas k∙ (n − 1), k∙ n e k ∙
(N+ 1) sejam inteiras e não nulas. Dividindo ambos os lados da igualdade acima por k, obtemos
360/k = (n − 1)+ n + (n + 1) = 3 ∙ n ⟹ n = 120/k
Logo, por ser um número inteiro não nulo, a constante de proporcionalidade k deve ser um divisor positivo de 120,
mas não pode ser o próprio 120. Se k fosse 120, então n seria 1 e teríamos:
360 = 120 ∙ (1 −1) +120 ∙ 1 + 120 ∙ (1 + 1) = 0 + 120 +240.
Nessa decomposição de 360 os fatores não são todos positivos, o que é vetado pelo enunciado. Logo,
Logo, por ser um número inteiro não nulo, a constante de proporcionalidade k deve ser um divisor positivo de 120,
mas não pode ser o próprio 120. Se k fosse 120, então n seria 1 e teríamos:
360 = 120 ∙ (1 −1) +120 ∙ 1 + 120 ∙ (1 + 1) = 0 + 120 +240.
Nessa decomposição de 360 os fatores não são todos positivos, o que é vetado pelo enunciado. Logo,
360 = 120 ∙ (1 −1) +120 ∙ 1 + 120 ∙ (1 + 1) = 0 + 120 +240.
Nessa decomposição de 360 os fatores não são todos positivos, o que é vetado pelo enunciado. Logo,
K ∈ {1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60}
Nessa decomposição de 360 os fatores não são todos positivos, o que é vetado pelo enunciado. Logo,
K ∈ {1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60}
Portanto, é possível escrever o número 360 de 15 maneiras diferentes como a soma de três parcelas inteiras, em
ordem crescente, e proporcionais a três inteiros positivos consecutivos.
ordem crescente, e proporcionais a três inteiros positivos consecutivos.
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