Question

Observe os vetores u=(M, 2 , 0), v=(M,3,2M) e w=(1, 1/4, 1) .

a. M=0 ou M=2/3
b. M= -5 ou M=5
c. M=-4 ou M=3
d. M=4 ou M= 1/3
e. M=0 ou M=10

Answer 1

Como o exercício afirma que os vetores são Linearmente Dependentes, então, o determinante entre os três vetores é igual a 0.

Daí, sendo $D= \left[\begin{array}{ccc}M&2&0\\M&3&2M\\1& \frac{1}{4} &1\end{array}\right]$, vamos calcular o determinante e igualar a 0.

Lembrando que você pode calcular o determinante de várias maneiras. 

       |M   2       0|
det=|M   3    2M|
       |1   1/4     1|

$det=M(3.1- \frac{1}{4}.2M)-2(M.1-1.2M)+0(M. \frac{1}{4}-1.3)$
$det=M(3- \frac{M}{2})-2(M-2M)$
$det=3M- \frac{M^2}{2}-2(-M)$
$det=3M- \frac{M^2}{2}+2M$
$det=5M- \frac{M^2}{2}$

$5M- \frac{M^2}{2} =0$
$M(5- \frac{M}{2)=0}$

M = 0 ou $5- \frac{M}{2} = 0$ → M = 10

Logo, a alternativa correta é a letra e)

Answer 2

Resposta:

Alternativa E: M=0 ou M=10

Explicação passo-a-passo:

Veja que os três vetores são linearmente dependentes. Isso significa que o determinante da matriz formada por esses três vetores é igual a zero. Essa matriz terá, em cada linha, os valores de i, j e k dos vetores.

Nesse caso, temos uma matriz 3x3, então devemos espelhar as duas primeiras colunas no fim da matriz. Então, calculamos o somatório da multiplicação das três diagonais principais e subtraímos do somatório das três diagonais secundárias. Assim:

$Det=(M\times 3\times 1)+(2\times 2M\times 1)+(0\times M\times \frac{1}{4})-(0\times 3\times 1)-(M\times 2M\times \frac{1}{4})-(2\times M\times 1)\\ \\ 0=3M+4M+0-0-\frac{1}{2}M^2-2M\\ \\ -\frac{1}{2}M^2+5M=0\\ \\ M(-\frac{1}{2}M+5)=0\\ \\ \boxed{M=0} \ ou\\ \\ -\frac{1}{2}M+5=0\\ \\ \boxed{M=10}$

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