Question

Observe os itens a seguir. Em cada item é escrito um número de acordo com seus fatores, por exemplo:2 fatores zero, 3 números positivos e 4 números negativos é um número formado pelo produto de 2 números zeros, 3 números positivos e 4 números negativos.I ‒ 6 zeros, 234 números positivos e 447 números negativos.II ‒ 1 zero, 133 números positivos e 67 números negativos.III ‒ 689 números positivos e 43 números negativos.IV ‒ 15 números positivos e 864 números negativos.Organizando-os em ordem crescente, tem-se:

Answer 1

Antes de mais nada, vamos lembrar algumas propriedade da multiplicação:

1 - qualquer número multiplicado por zero resulta em zero
2 - Multiplicação de 2 números de mesmo sinal resulta em um número positivo.
3 - Multiplicação de 2 números de sinais opostos resulta em um número negativo.

Com isso em mente, vamos determinar cada número.

Os números I e II possuem fatores zero, pela propriedade 1 acima, temos que:

I = 0
II = 0

No caso do número III, temos 689 números positivos e 43 números negativos.
Note que, pela propriedade 2 acima, a multiplicação entre os 689 números positivos sempre resulta em um número positivo.
Agora, considerando os 43 números negativos, vamos multiplicá-los 2 a 2 e obter com isso um número positvo para cada par formado, pela propriedade 2 acima.
Mas como o número de negativos é ímpar sobrará 1 número negativo sem formar par. Portanto ao término das múltiplicações o número III será negativo, ou seja menor que zero.

Portanto, perceba que se considerarmos os fatores de um número, a quantidade de números positivos não interfere no sinal do resultado e sim a quantidade de números negativos:
- Se tivermos um número par de negativos, podemos junta-los 2 a 2 e o resultado final será positivo (maior que 0).
- Se tivermos um número ímpar de negativos, vamos, juntá-los 2 a 2 e sobrará 1 número negativo sem par e, assim, o resultado final será negativo (menor que 0)

Então, para o número IV, vemos que este possui 15 números positivos, que não interferem no sinal do resultado; e 864 número negativos. Como a quantidade de negativos é par, temos que o número IV é positivo ou seja, maior que 0.

Assim, temos que:

I = 0
II = 0
III < 0
IV > 0

Ordenado os números em ordem crescente, temos que:

III < I = II < IV