Question

Observe o triângulo a seguir e encontre a tangente do ângulo :

E correto que se afirma em:

em anexo,

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Fiori, que se calcularmos o valor do seno do ângulo α vamos ter isto (sen(x) = cateto oposto/hipotenusa):

sen(α) = 4/6 ---- simplificando-se numerador e denominador por "2", iremos ficar apenas com:

sen(α) = 2/3 .

Agora, pela primeira relação fundamental da trigonometria, temos que:

sen²(α) + cos²(α) = 1 --- substituindo-se sen(α) por "2/3", teremos:
(2/3)² + cos²(α) = 1
4/9 + cos²(α) = 1
cos²(α) = 1 - 4/9 ----- mmc = 9. Assim, utilizando-o no 2º membro, temos;
cos²(α) = (9*1 - 1*4)/9
cos²(α) = (9-4)/9
cos²(α) = 5/9
cos(a) = +-√(5/9) ---- veja que isto é a mesma coisa que:
cos(α) = +-√(5)/√(9) ----- como √(9) = 3, teremos:
cos(α) = +-√(5) / 3 ------ como o ângulo "α" é agudo, então o cosseno será positivo . Assim, tomando-se apenas a raiz positiva, teremos;

cos(α) = √(5) / 3.

Agora vamos para a tangente de α. Como tangente é igual a seno sobre cosseno, então teremos isto:

tan(α) = sen(α)/cos(α) ---- fazendo as devidas substituições, teremos:
tan(α) = (2/3) / [√(5)/3] --- veja: divisão de frações. Regra: conserva-se a primeira fração como está e multiplica-se pelo inverso da segunda. Logo:

tan(α) = (2/3)*[3/√(5)]
tan(α) = 2*3 / 3*√(5)
tan(α) = 6 / 3√(5) ----- simplificando-se numerador e denominador por "3", iremos ficar apenas com:

tan(α) = 2 / √(5) ----- para racionalizar, multiplicaremos numerador e denominador por √(5). Assim:

tan(α) = 2*√(5) / √5*√5
tan(α) = 2√(5) / √25 ------- como √25 = 5, teremos:
tan(α) = 2√(5) / 5 ----- note que o "2" que está fora da raiz, poderá entrar para dentro da raiz como se fosse 2², pois se ele saiu de dentro da raiz era porque estava ao quadrado. Então, colocando esse "2" pra dentro da raiz, iremos ficar assim:

tan(α) = √(2².5) / 5
tan(α) = √(4.5) / 5
tan(α) = √(20) / 5 <--- Esta é a resposta. É a última opção.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.