Question

Observe o plano de Argand Gauss:

A representação trigonométrica do conjugado do número complexo Z^5 (Z elevado a 5), sendo i a unidade imaginária, é:

Answer 1

De acordo com o gráfico, o número complexo Z pode ser representado na forma de "a+bi" em que "a" é a coordenada no eixo x e "b", no eixo y:

$z = 1 + \sqrt{3} i$

Para descobrir suas potências, é necessário escrevê-lo na forma trigonométrica/polar. Primeiro, calculamos seu módulo |Z|:

$|z| = \sqrt{ {a}^{2} + {b}^{2} }$

$|z| = \sqrt{ {1}^{2} + { \sqrt{3} }^{2} }$

$|z| = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4 } = 2$

Agora calculamos o ângulo formado entre o vetor z (segmento de reta que liga a origem do plano ao ponto z) e o eixo x, como indicado na primeira imagem anexa.

$\tan( \alpha ) = \sqrt{3}$

Portanto, o ângulo é de 60°

A forma trigonométrica é escrita da seguinte forma:

Z=|Z|.(cosÂ+i.senÂ)

Z=2.(cos 60° + i.sen 60°)

Utilizaremos a Primeira Equação de Moivre (usada para calcular potências de números complexos na forma trigonométrica)

${z}^{n} = { |z| }^{n} \times ( \cos(n \times \alpha ) + i \times \sin(n \times \alpha ))$

Assim:

Z⁵=2⁵.(cos (60°.5) + i.sen(60°.5))

Z⁵=32.(cos 300° + i.sen 300°)

Por fim, queremos o conjugado (Zc) desse número. Lembrando que o conjugado de um complexo a+bi é a-bi

Z⁵c=32.(cos 300°-i.sen300°)

*300°=5pi/3

Z⁵c=32.(cos 5pi/3-i.sen 5pi/3)

Z⁵c=32.cos 5pi/3 - i.32.sen 5pi/3

Alternativa a)