Question

Observe o gráfico das funções f(x)=1+0,5^ -x e g(x)=4^x-1. Me ajudem pfvr!

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Olá,

Vamos pensar da seguinte forma :

Sabendo que a origem do plano cartesiano possui coordenadas x e y iguais a zero, ou seja : Op (0,0) p/ determinarmos qual desses gráficos passa pela origem basta substituirmos o x por 0 nas duas funções e ver qual delas o resultado será igual a zero. Veja :

Lembrando que f(x) = y

Quando x = 0 na f(x) :

f(0) = 1 + 0,5⁰ → f(0) = 1 + 1 → f(0) = 2

Explicando o que foi feito acima : Como qualquer número elevado a 0 é sempre igual a 1 então 5⁰ = 1.

Observe que quando x = 0 o nosso y na função f(x) é 2. Portanto essa função não passa pela origem.

Fazendo o mesmo p/ a função g(x) :

g(0) → 4⁰ - 1 → g(0) = 1 - 1 → g(0) = 0, Portanto quando x = 0 na função g(x) o seu y também é igual a zero. Logo g(x) passa pela origem do plano cartesiano.

No ponto de intersecção das função g(x) e f(x) nós temos que :

g(x) = f(x)

4ˣ - 1 = 1 + 0,5-ˣ

Vamos começar transformando o 0,5 em fração :

4ˣ - 1 = 1 + (½)-ˣ

Vamos agora tentar deixar o 4 e o ½ numa mesma base. P/ isso eu preciso que voce se recorde sobre uma propriedade da potenciação que versa sobre expoentes negativos. Perceba :

2-ⁿ →  1

      --------

         2ⁿ

(½)-ˣ →    1     → (½)-ˣ = 2

          --------

              1

          --------

              2

Logo nós ficamos com :

(2²)ˣ - 1 = 1 + 2ˣ

Note que se eu fizer :

(2²)ˣ ou se eu fizer (2ˣ)² eu chegarei no mesmo resultado, já que eu escrevi a mesma coisa só que de um jeito diferente.

Se eu enxergar o 2ˣ como uma incógnita como por exemplo y nós ficaremos com :

y² - 1 = 1 + y

y² - y - 1 - 1 = 0

y² - y - 2 = 0

Resolvendo por bháskara :

Δ = b² - 4ac

Δ = (-1)² - 4.1.(-2) → Δ = 1 + 8 → Δ = 9

x' = -b + √Δ/2a

x' = -(-1) + 3/2.1 → x' = 4/2 → x' = 2

x'' = -b - √Δ/2a

x'' = -(-1) - 3/2.1 → x'' = -2/2 → x'' = -1

No entanto o x'' não é uma solução válida porque olhando no gráfico das funções nós percebemos que elas se cruzam a direita do eixo y (ou seja, elas se cruzam num ponto onde só são admitidos valores positivos no eixo x).

Agora com o valor de x em mãos basta substituir ele em uma das duas funções, vou escolher a função g(x) :

g(2) → 4² - 1 → 16 - 1 → g(2) = 15

Portanto as funções se interceptam no ponto : P (2,15)