Question

Observe o gráfico abaixo.

A) Para que valores de x a função f'(x)<0?

B) Quais são as coordenadas do ponto onde f(x) não possui derivada?


NB: dar todas as preliminares de como fazer todas essas coisas em qualquer gráfico, Resposta final sem explicação não é admissível. ​

Answer 1

Resposta:

A abcissa, $\pink{\boxed{x = -1}} \checkmark\checkmark\checkmark$

Explicação passo-a-passo:

(i) Anotações introdutórias

Tendo a representação gráfica acima, observa-se facilmente tratar-se de uma função modular, e NÃO é nada complicado encontrar sua expressão analítica.

Veja, de antemão podemos garantir que $\underline{y = 1}$ é a ordenada na origem (local onde a função intercepta o eixo das ordenadas) temos essencialmente a ordenada na origem e notoriamente vemos que a função é afim (apenas foi feita uma reflexão pra cima, l partindo do eixo das abcissas), fica que a função afim em questão é $\underline{y = ax + 1}$, com o ponto $P(-1, 0)$, obtemos $y = x + 1$, e por ser modular ficámos com,

$\boxed{y = |x + 1|} \Leftarrow$ expressão analítica

a) Para que valores de x a função $f'(x) < 0~?$

A ideia de derivada negativa é essencialmente indicar o intervalo contendo os pontos, na qual, a função é estritamente decrescente, outrossim para casos de derivada positiva (onde queremos o intervalo de crescimento), através de uma visualização gráfica observamos facilmente que a função é DECRESCENTE em,

$\boxed{x \in \pink{(- \infty; -1)}}$

b) Quais são as coordenadas do ponto onde $f(x)$ NÃO possui derivada?

Caro Joaquim, existem diversas formas que podem nos levar a achar os pontos onde a diferenciabilidade é inexistente/não, eu me lembro de um teorema (não sei se posso denomina-lo um teorema), entretanto, no ensino médio me ajudava bastante em questões do gênero, rsrsrs, essencialmente posso formula-lo assim: A derivada é inexistente em pontos da abcissa se o gráfico apresenta uma intersecção de rectas (ou uma "quina"), usando está ideia concluímos facilmente que a função NÃO é diferenciável em $\pink{\underline{x = - 1}}$ basta observar a quina (ou o local da Inflexão), prontos! (hahaha)

Existe um procedimento que eu consideraria mais formal, primeiro: sabemos que $f$ é contínua em $\mathbb{R}$, em particular em $\underline{x = -1}$, no entanto a derivada não existe (de facto), basta verificar que pela definição temos,

$f'(-1) = \displaystyle\lim_{x \to 0} \left[\dfrac{f(x) - f(0)}{x} \right] = \displaystyle\lim_{x \to 0} \left[\dfrac{|x - 1| - 1}{x} \right]$

Encontramos os limites laterais (por a função estar definida por partes), para que a função seja derivável em $x = -1$ os limites laterais devem ser IGUAIS (óbvio), ficámos com,

• Limite lateral à direita

$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \left[ \dfrac{\green{x - 1} - 1}{x} \right] = 1$

• Limite lateral à esquerda

$\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \left[ \dfrac{\green{1 - x} - 1}{x} \right] = -1$

(limites laterais diferentes, logo o limite não existe, consequentemente a derivada não existe em –1)

Portanto a função não é derivável no ponto de abcissa $\pink{\boxed{x = -1}}$

• Espero ter colaborado, cordiais saudações à todos vocês, $@ \green{\mathbb{ZIBIA,}~\sf{David ~ M. ~Junior}}$, Electrical Engineering Student, Freshman, asking team on Brainly Brazil.