Question

Observe o binômio apresentado abaixo.

(x+5)6

Qual é o coeficiente do 3° termo do desenvolvimento desse binômio?

A. 75.
B. 125.
C. 375.
D. 2 500.
E. 9 375
​

Answer 1

O terceiro termo do desenvolvimento é 375x^8. Letra c).

Temos o binômio:

$(x + 5)^6$

Como a questão nos pede o 3º termo do desenvolvimento, vamos aplicar diretamente a fórmula para um termo geral:

$T_{p + 1} = \binom{n}{p}*a^{(n + p)}*b^p$

Onde n é a ordem do binômio e p o termo desejado (vale ressaltar que começamos a contar p de 0, ou seja, para p = 0 teremos o 1º termo do desenvolvimento).

No nosso caso, o binômio (x + 5) está elevado a 6, logo n = 6. Além disso, queremos encontra o 3º termo desse desenvolvimento, ou seja, p = 3 - 1 = 2. Substituindo esses valores na expressão do termo geral:

$T_{2 + 1} = \binom{6}{2}*x^{(6 + 2)}*5^2 = \frac{6!}{2!(6 - 2)!}*x^8*5^2\\T_3 = \frac{6*5*4!}{2!*4!} *x^8*5^2 = \frac{6*5}{2}*x^8*5^2\\\\T_3 = 15*x^8*5^2 = 15*5^2*x^8 = 375x^8$

Muito importante lembrar que o termo $\binom{n}{p}$ é a uma combinação de n termos tomados p a p, ou seja:

$\binom{n}{p}= C_{n,p} = \frac{n!}{p!(n - p)!}$

E ainda que, no nosso caso, substituímos a = x e b = 5, que são os termos do nosso binômio inicial.

Você pode aprender mais sobre Binômios aqui: https://brainly.com.br/tarefa/19713333