Question

Observe o binômio apresentado abaixo.

(x+2)10

Qual é o 7º termo do desenvolvimento desse binômio?

Answer 1

Resposta:

13.440x elevado a 4

Explicação passo-a-passo:

Answer 2

O sétimo termo será $13440x^{4}$

Usamos o binômio de newton para determinar o sétimo termo deste binômio.

Newton descobriu que

$(x+y)^n= \sum_{p=0}^n\begin{pmatrix}n\\p\end{pmatrix}x^{n-p}y^p$

Onde usamos a notação de Combinação.

Lembrando que a combinação se escreve como:

$\begin{pmatrix}n\\p\end{pmatrix}=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}$

Podemos escrever a binômio desta forma:

$(x+y)^n= \sum_{p=0}^n\dfrac{n!}{p!(n-p)!}x^{n-p}y^p$

Para o binômio $(x+2)^10$ a formula será

$(x+2)^{10}= \sum_{p=0}^{10}\dfrac{10!}{p!(10-p)!}x^{10-p}y^p$

Observe que o primeiro termo é o termo onde p=0

Portanto o sétimo termo é o termo onde p=6

(ao invés de contar 1--7, vamos contar 0--6)

Observe ainda que isto é um somatório.

Para achar um termo específico, só precisamos calcular um termo desta soma (termo p=6):

$7^\circ\,\,termo= \dfrac{10!}{6!(10-6)!}x^{10-6}2^6$

$7^\circ\,\,termo= 210x^{4}2^6$

$7^\circ\,\,termo= 210x^{4}\cdot64$

$7^\circ\,\,termo= 13440x^{4}$