Question

Observe as proposições a seguir e determine se são verdadeiras .... Alguém pra ajudar na resolução?

Answer 1

1ª proposição: Existe um x no conjunto dos naturais que satisfaz a seguinte equação:

$x^2 + \dfrac{10}{3}\cdot x - \dfrac{8}{3} = 0$

Para isso ser verdadeiro, pelo menos uma das raízes teria de ser natural. Podemos utilizar a equação de Bhaskara. Se verificar o $\Delta$ da função:

$\Delta = b^2 - 4 \cdot a \cdot c = \left(\dfrac{10}{3}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left(-\dfrac{8}{3}\right)$

$\Delta = \dfrac{100}{9} +\dfrac{32}{3}$

Multiplicando a segunda fração por 3 no denominador e numerador:

$\Delta = \dfrac{100}{9} + \dfrac{96}{9} = \dfrac{196}{9}$

Calculando as raízes:

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2 \cdot a}$

$x = \dfrac{-\dfrac{10}{3} \pm \sqrt{\dfrac{196}{9}}}{2 \cdot 1}$

$x = \dfrac{-\dfrac{10}{3} \pm \dfrac{14}{3}}{2}$

$x_1 = \dfrac{-\dfrac{10}{3} + \dfrac{14}{3}}{2} = \dfrac{4}{6}$

$x_2 = \dfrac{-\dfrac{10}{3} - \dfrac{14}{3}}{2} = -\dfrac{24}{6} = -4$

O -4 é inteiro, mas não natural, logo esta afirmativa é FALSA.

2ª proposição: Para todo x pertencente aos números naturais, x é múltiplo de 2 ou 3. Essa é fácil de verificar. Por exemplo, se x for 5, 7, 11, 13,... então não são múltiplos de 2 nem 3. Logo, FALSA.

3ª proposição: Existe x pertencente aos inteiros tal que:

$x = \log_{10}[0,001]$

Como $0,001 = 10^{-3}$:

$x = \log_{10}[10]^{-3}$

Dado que: $\log_a[b]^c =c \cdot \log_a[b]$:

$x = -3 \cdot \log_{10}[10]$

Como: $\log_a[a] = 1$:

$x = -3 \cdot 1 = -3$

O -3 é inteiro, logo essa é VERDADEIRA.

4ª proposição: $(e^5 + 3^2 - \pi) < 160$

Aqui, podemos considerar e = 2,7:

$(2,7)^5 = (2,7)^2 \cdot (2,7)^2 \cdot (2,7)$

Como: $(2,7)^2 = 7,29$ (se quiser pode aproximar para 7,3):

$(2,7)^5 = (7,29)^2 \cdot (2,7) \approx 53,14 \cdot 2,7 \approx 144$

Assim:

$144 + 9 - \pi < 160$

Considerando $\pi \approx 3$:

$144+9-3 = 150 < 160$

Essa é VERDADEIRA.

Ou seja: F, F, V, V (alternativa D).