Question

Observe as figuras abaixo. O triângulo PQR e o trapézio ABCD têm alturas iguais. Nessas
condições faça o que se pede:

a) Determine o valor de h
b) Calcule a área do triângulo e do trapézio.

Answer 1

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⠀⠀☞ Através de uma semelhança de triângulos pudemos encontrar que o valor das alturas h é 12 u.c., a área do triângulo vale 150 u.a. e a área do trapézio vale 72 u.a. ✅

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a) Determine o valor de h.

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⠀⠀Podemos observar inicialmente que temos um triângulo retângulo, pois:

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$\LARGE\blue{\sf 20^2 + 15^2 = 25^2}$

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$\LARGE\blue{\sf 400 + 225 = 625}$

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⠀⠀Tendo observado isto, vamos então encontrar a altura do triângulo a partir da semelhança dos triângulo QPH e PHR. Acompanhe a análise geométrica abaixo (as figuras a seguir não são visualizáveis pelo App Brainly, experimente acessar a página pelo navegador do seu celular):

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$\setlength{\unitlength}{0.95cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(0,0){\line(1,0){9.7}}\put(0,0){\line(2,3){3}}\put(3,4.5){\line(3,-2){6.7}}\bezier(0.45,0.65)(0.8,0.6)(0.9,0)\put(0.4,0.2){ \alpha }\bezier(8.7,0.65)(8.5,0.7)(8.45,0)\put(8.7,0.2){ \beta }\put(2.75,4.1){\line(3,-2){0.4}}\put(3.15,3.85){\line(2,3){0.25}}\put(3.5,4.5){P}\put(-0.6,0){R}\put(9.9,0){Q}\put(3.1,4.15){\circle*{0.1}}\put(7,4){\dashbox{0.1}(3,1){ \alpha + \beta = 90^{\circ} }}\end{picture}$

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⠀⠀Sabemos que se dois triângulos possuem dois ângulos congruentes então o terceiro também será congruente. Portanto ao traçarmos a altura h obtemos na figura 3 triângulos semelhantes (A-A-A) e são eles: PQR, PQH e PRH. Sabemos disto pois o triângulo PRH e PQR compartilham de dois ângulos congruentes (90º e α) e PQR e PQH compartilham de outros dois ângulos congruentes (90º e β), ou seja, pelo Teorema do Confronto temos que se PRH ≡ PQR ≡ PQH então PRH ≡  PQH.

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$\setlength{\unitlength}{0.95cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(0,0){\line(1,0){9.7}}\put(0,0){\line(2,3){3}}\put(3,4.5){\line(3,-2){6.7}}\put(3,0){\line(0,1){4.5}}\bezier(0.45,0.65)(0.8,0.6)(0.9,0)\put(0.4,0.2){ \alpha }\bezier(8.7,0.65)(8.5,0.7)(8.45,0)\put(8.7,0.2){ \beta }\put(3.5,4.5){P}\put(-0.6,0){R}\put(9.9,0){Q}\put(2.5,0.5){\line(1,0){1}}\put(2.5,0){\line(0,1){0.5}}\put(3.5,0){\line(0,1){0.5}}\put(3.7,0.2){H}\put(2.77,0.23){\circle*{0.1}}\put(3.27,0.23){\circle*{0.1}}\put(3.2,2){h}\bezier(2.45,3.65)(2.5,3.3)(3,3.3)\bezier(3,3.3)(3.8,3.4)(3.8,3.95)\put(3.2,3.7){ \alpha }\put(2.7,3.7){ \beta }\end{picture}$

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⠀⠀Pela congruência PRQ ≡ PRH temos que:

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$\LARGE\blue{\text{ \sf sen(\beta) = \dfrac{\overbrace{20}^{\widehat{PQR}}}{25} = \dfrac{\overbrace{h}^{\widehat{PQH}}}{15} }}$

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$\LARGE\blue{\sf h = \dfrac{20 \cdot 15}{25}}$

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$\LARGE\blue{\sf h = \dfrac{300}{25}}$

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$\huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{h}~\pink{=}~\blue{ 12~u.c. }~~~}}$ ✅

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b) Calcule a área do triângulo e do trapézio.

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⠀⠀Temos que a área do triângulo é dada pela metade do produto da base pela altura:

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$\LARGE\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf A_{3} = \dfrac{b \cdot h}{2}}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\LARGE\blue{\sf A_3 = \dfrac{25 \cdot 12}{2}}$

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$\LARGE\blue{\sf A_3 = 25 \cdot 6}$

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$\huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{A_3}~\pink{=}~\blue{ 150~u.a. }~~~}}$ ✅

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⠀⠀Temos que a área do trapézio é dada pelo produto da altura pela  média aritmética das bases:

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$\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf A_{4} = h \cdot \dfrac{B + b}{2}}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\LARGE\blue{\sf A_4 = 12 \cdot \dfrac{5 + 7}{2}}$

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$\LARGE\blue{\sf A_4 = 12 \cdot \dfrac{12}{2}}$

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$\LARGE\blue{\text{ \sf A_4 = 12 \cdot 6} }}$

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$\huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{A_4}~\pink{=}~\blue{ 72~u.a. }~~~}}$ ✅

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$

⠀⠀☀️ Exercício semelhante:

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✈ https://brainly.com.br/tarefa/37979672

$\bf\large\red{\underline{\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

⠀⠀⠀⠀☕ $\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}$

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($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

❄☃ $\sf(\purple{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$