Observe a sequência numérica abaixo
2 5 10 17 26 .... n
Qual é a expressão que representa o número que ocupa a posição n da sequência numérica?
A) 2n + 1
B)3n - 1
C) n² + 1
D) 3n² - n
E) 2n² - 3
Soluções para a tarefa
A expressão que representa o número que ocupa a posição n da sequência numérica é n² + 1.
Observe que:
5 - 2 = 3;
10 - 5 = 5;
17 - 10 = 7;
26 - 17 = 9;
E assim por diante.
Note que a sequência (3, 5, 7, 9, ...) é uma progressão aritmética. Então, a sequência (2, 5, 10, 17, 26, ..., n) é uma progressão aritmética de segunda ordem.
Para determinarmos o termo geral da sequência (2, 5, 10, 17, 26, ..., n), precisamos calcular o termo aₙ₋₁ da sequência (3, 5, 7, 9, ...).
Sendo assim, temos que:
aₙ₋₁ = 3 + (n - 1 - 1).2
aₙ₋₁ = 3 + 2n - 4
aₙ₋₁ = 2n - 1.
Agora, precisamos calcular a soma dos n - 1 termos da sequência (3, 5, 7, 9, ...):
Sₙ₋₁ = (3 + 2(n - 1) + 1).(n - 1)/2
Sₙ₋₁ = (3 + 2n - 2 + 1).(n - 1)/2
Sₙ₋₁ = (2 + 2n).(n - 1)/2
Sₙ₋₁ = n² - 1.
O termo geral da sequência inicial é dado por:
aₙ = a₁ (primeira ordem) + Sₙ₋₁ (segunda ordem)
aₙ = 2 + n² - 1
aₙ = n² + 1.