Question

observe a sequência numérica. 1 3 6 10 e 15 Seja a um número que ocupa a primeira posição nesta sequência a 2 o número que ocupa a segunda posição assim por diante então a expressão que permite calcular an é?

Answer 1

=> Temos a sequência: 1, 3, 6, 10 , 15, ....

...ou seja temos:

a₁ = 1

a₂ = 3

a₃ = 6

a₄ = 10

a₅ = 15

an = ???

=> Utilizando a nossa lógica percebemos rapidamente que:

a₁ = 1 = 1

a₂ = 3 = 1 + 2

a₃ = 6 = 1 + 2 + 3

a₄ = 10 = 1 + 2 + 3 + 4

a₅ = 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

an = ???

=> ....mas se refletirmos um pouco mais, podemos deduzir que:

a₁ = 1 = 1 = a₁

a₂ = 3 = 1 + 2 = a₁ + 2

a₃ = 6 = 1 + 2 + 3 = a₂ + 3

a₄ = 10 = 1 + 2 + 3 + 4 = a₃ + 4

a₅ = 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = a₄ + 5

an = ???

...ou seja qualquer termo é igual ao anterior adicionado do seu próprio número de ordem na sequência (n)

....ou por em linguagem simbólica:

an = a(n-1) + n

...e porque é que isto é importante??

Porque assim percebemos que o "enésimo" termo será SEMPRE OBTIDO ..pela fórmula da SOMA dos "n" termos de uma P.A.

..sabemos que a fórmula de uma P.A. é dada por:

Sn = (a₁ + an)n/2

adaptando a fórmula teremos:

an = (a₁ + n)n/2

como a₁ = 1

an = (1 + n)n/2 <= Uma primeira expressão que nos permite calcular "an"

..desenvolvendo

an = (n + n²)/2 <= outra expressão que permite calcular "an"

...................

Confirmando:

a₃ = (n + n²)/2 = (3 + 3²)/2 = (3 + 9)/2 = 12/2 = 6

a₄ = (n + n²)/2 = (4 + 4²)/2 = (4 + 16)/2 = 20/2 = 10

a₅ = (n + n²)/2 = (5 + 5²)/2 = (5 + 25)/2 = 30/2 = 15

...está confirmado!!

Espero ter ajudado