Question

observe a sequência de números: (0,2,6,14,30,62 ...) ou seja a1 = 0, a2 = 2, a3 = 6, a4 = 14, a5 = 30, a6 = 62 ... a expressão numérica que representa o termo geral (an) da sequência é:

A)n²- 1
B)2(n - 1)²
C)n² - n
D)2n - 2
E)2n - 2
​

Answer 1

A forma mais simples de resolver é testando as alternativas e vendo se elas se encaixam na sequência.

Sabendo que $a_1 = 0$, $a_2 = 2$, $a_3 = 6$ $\cdots$ , vamos ver se para cada alternativa conseguimos encontrar esses termos substituindo n por 1, 2 e 3.

• n² - 1

n = 1 → 1² - 1 = 0

n = 2 → 2² - 1 = 4 - 1 = 3

Veja que o segundo termo é 3, então já eliminamos essa alternativa.

• 2( n - 1 )²

n = 1 → 2(1 - 1)² = 2.0 = 0

n= 2 → 2(2 - 1)² = 2.1 = 2

n = 3 → 2(3 - 1)² = 2.4 = 8

Veja que o terceiro termo é 8, então já eliminamos essa alternativa também.

• n² - n

n = 1 → 1² - 1 = 0

n = 2 → 2² - 2 = 4 - 2 = 2

n = 3 → 3² - 3 = 9 - 3 = 6

n = 4 → 4² - 4 = 16 - 4 = 12

Está incorreto.

• 2ⁿ - 2

n = 1 → 2¹ - 2 = 0

n = 2 → 2² - 2 = 4 - 2 = 2

n = 3 → 2³ - 2 = 8 - 2 = 6

A sequencia está correta.

• 2n - 2

n = 1 → 2.1 - 2 = 0

n = 2 → 2.2 - 2 = 4 - 2 = 2

n = 3 → 2.3 - 2 = 6 - 2 = 4

Como o terceiro termo deveria ser 6, esta também está incorreta.

Resposta: Letra D

Aprenda mais em:

https://brainly.com.br/tarefa/26060741

https://brainly.com.br/tarefa/26053312

Answer 2

Utilizando formulações gerais de Progressão Geometrica, temos que o termo geral da nossa sequência é dada por 2^n - 2, letra D.

Explicação passo-a-passo:

Então temos a seguinte sequência:

$0 , 2 , 6 , 14 , 30 , 62 , ....$

Note que todas elas são o resultado da anterior, somada com a potência de 2 de sua posição, para entender melhor, veja:

$0 , 0+ 2^2 , 2 + 2^2 , 6 + 2^3 , 14 + 2^4 , 30 + 2^5 , ....$

Pois:

2² = 4

2 + 2² = 6

6 + 2³ = 14

14 + 2⁴ = 30

30 + 2⁵ = 62

Assim qualquer termo pode ser então escrito como uma soma de potências de 2:

$A_1 = 0$

$A_2 = 2^1 = 2$

$A_3 = 2^1 + 2^2 = 6$

$A_4 = 2^1 + 2^2 + 2^3 = 14$

$A_5 = 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 = 30$

$A_6 = 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 = 62$

Então por indução sabemos que um termo qualquer An é dado por:

$A_n = 0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^{n-1} = \sum_{i}^{n} 2^{i-1}$

Mas note que dentro deste próprio termo An, poderiamos montar outra sequência B:

$B = (2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , ....)$

A sequência de potências de 2, esta sequência em específico é uma Progressão Geometrica (P.G.), pois todo termo que vem depois é o resultado do anterior multiplicado por uma razão, que neste caso é 2.

Assim neste PG o primeiro termo seria B1 = 2 e a razão seria R = 2. Com isso qualquer termo Bn desta PG pode ser identificado:

$B_n = 2^n$

E sabemos que PG tem formulas para a soma de todos os termos ae um determinado valor n qualquer, que é dada por:

$Soma_n = B_1 \cdot \frac{Q^n-1}{Q-1}$

E como podemos ver, o nosso termo An é exatamente a soma de 'n' termos da PG dada por B, ou seja:

$A_n = B_1 \cdot \frac{Q^n-1}{Q-1}$

Assim substituindos valores da nossa PG:

$A_n = 2 \cdot \frac{2^n-1}{2-1}$

$A_n = 2 \cdot (2^n-1)$

$A_n = 2^{n+1}-2$

Mas como nosso An começa em 0, ele só vai até n-1, então temos que substituir nesta formula:

$A_n = 2^{(n-1)+1}-2$

$A_n = 2^{n-1+1}-2$

$A_n = 2^{n}-2$

E assim temos que o termo geral da nossa sequência é dada por 2^n - 2, letra D.

Para mais questões sobre Progressões Geometria, recomendo checar:

https://brainly.com.br/tarefa/11630513

https://brainly.com.br/tarefa/31970669