Question

observe a sequencia de fibonacci. (1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...)
determine os proximos 5 numeros e a razao destes numeros em relacao ao seu antecessor .que relacao estas razoes tem com o numero de ouro?

Answer 1

$(1;\,1;\,2;\,3;\,5;\,8;\,13;\,21;\,34;\,55;\,89;\,144;...)$

Para saber o próximo termo, basta somar o termo atual com o termo anterior, então, os próximos 5 termos serão:

$144+89=\boxed{233}$

$233+144=\boxed{377} \\ \\ 377+233=\boxed{610} \\ \\ 610 +377=\boxed{987} \\ \\ 987+610=\boxed{1597}$

Razão entre os termos e seus antecessores:

$\frac{144}{89} \approx 1,\!618 \\ \\ \frac{89}{55} \approx 1,\!618 \\ \\ \frac{55}{34} \approx 1,\!618$

A razão entre os termos e seus antecessores é um valor muito próximo do número de ouro, que vale $\frac{1+ \sqrt{5} }{2}$

Answer 2

A sequência é formada somando o último número com seu antecessor. O resto das divisões forma uma nova sequência Fibonacci.

Esta questão está relacionada com a sequência Fibonacci. Esta sequência numérica, desenvolvida por Leonardo Fibonacci, é uma sucessão numérica que pode ser convertida em uma espiral quando escrevemos quadrados com as medidas indicadas na sequência.

Note que, a sequência Fibonacci é feita sempre somando os dois últimos termos para gerar um novo valor. Assim, começando do zero, veja que temos o seguinte:

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 2

2 + 1 = 3

3 + 2 = 5

5 + 3 = 8

8 + 5 = 13

13 + 8 = 21

E assim sucessivamente, tendendo ao infinito. Ainda, veja que ao dividir um elemento por seu antecessor, temos o quociente igual a 1, com resto formando uma nova sequência Fibonacci. Veja abaixo:

8 ÷ 5 = 1 + resto 3

13 ÷ 8 = 1 + resto 5

21 ÷ 13 = 1 + resto 8

34 ÷ 21 = 1 + resto 13

(...)

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