Question

Observe a sequência a seguir e calcule o que se pede sobre essa P.A (Progressão
Aritmética):

(4, 7, 10, . . . , 136).

a. A razão (q)
b. O 20o termo da P.A;
c. Número de termos dessa P.A;
d. Soma de todos os termos da P.A.

Answer 1

a)

A razão ( r ) das progressões aritméticas é determinada pela diferença entre um termo e seu antecessor. Sendo assim:

$r \ \ = \ \ a_2 \ - \ a_1 \ \ \ \iff \ \ \ r \ \ = \ \ 7 \ - \ 4 \ \ \ \iff \ \ \ \boxed{ \ r \ \ = \ \ 3 \ }$

A razão dessa P.A é 3.

b)  

Para encontrar qualquer termo ( aₙ ) de uma progressão aritmética, seguimos a fórmula do termo geral da P.A :

$\boxed{ \ \ a_n \ \ = \ \ a_1 \ + \ (n \ - \ 1) \ \cdot \ r \ \ } \ \ \ \ \longleftrightarrow \ \ \ \ n \ \ = \ \ posicao \ \ do \ \ termo$

Assim sendo:

$a_2_0 \ \ = \ \ 4 \ + \ (20 \ - \ 1) \ \cdot \ 3 \ \ \ \ \iff \ \ \ \ a_2_0 \ \ = \ \ 4 \ + \ 19 \ \cdot \ 3 \ \ \ \ \iff \ \ \ \ \boxed{ \ 61 \ }$

O vigésimo termo dessa P.A é 61.

c)

Para determinarmos o número de termos de uma P.A., utilizamos a seguinte fórmula:

$\boxed{ \ \ a_n \ \ = \ \ a_1 \ + \ (n \ - 1) \ \cdot \ r \ \ } \ \ \ \ \longleftrightarrow \ \ \ a_n \ = \ \ ultimo \ \ termo \ \ da \ \ P.A$

Substituindo:

$a_n \ \ = \ \ 4 \ + \ (n \ - \ 1 ) \ \cdot \ 3 \\\\ 136 \ \ = \ \ 4 \ + \ 3n \ - \ 3 \\\\ 136 \ \ = \ \ 1 \ + \ 3n \\\\ 3n \ \ = \ \ 136 \ - \ 1 \\\\ n \ \ = \ \ \frac{135}{3} \\\\ \boxed{ \ n \ \ = \ \ 45 \ }$

Essa P.A possui 45 termos.

d)

A soma dos termos ( Sₙ ) de uma progressão aritmética finita é dada por:

$\boxed{ \ \ S_ n \ \ = \ \ \frac{( \ a_1 \ + \ a_n \ ) \ \cdot \ n}{2} \ \ }$

Logo:

$\Rightarrow \ \ \ S_n \ \ = \ \ \frac{( \ 4 \ + \ 136) \ \cdot \ 45}{2} \\\\ \Rightarrow \ \ \ S_n \ \ = \ \ \frac{140 \ \cdot \ 45}{2} \\\\\ \Rightarrow \ \ \ S_n \ \ = \ \ \frac{6.300}{2} \\\\ \Rightarrow \ \ \ \boxed{ \ S_n \ \ = \ \ 3.150 \ }$

Todos os termos dessa P.A somam 3150.