Question

Observe a sequência a seguir:

1, 6, 31, 156, 781...

Qual é o 6º termo dessa sequência

Answer 1

O sexto termo da sequência $S_n=[1,6,31,156,781,...]$ é 3906.

Primeiro, precisamos descobrir algum padrão nessa sequência numérica.

Vamos chamar a sequência dada de $S_n=[1,6,31,156,781,...]$

onde $s_1=1,s_2=6,s_3=31,s_4=156,s_5=781$ e $s_6$ é o sexto termo, que queremos encontrar.

Vamos fazer uma nova sequência, onde cada termo será a diferença entre dois termos consecutivos da sequência original, assim:

$S_m=[(s_2-s_1),(s_3-s_2),(s_4-s_3),(s_5-s_4),(s_6-s_5)]$

Então:

$S_m=[(6-1),(31-6),(156-31),(781-156),(s_6-781)]$

$S_m=[5,25,125,625,(s_6-781)]$

Veja que os termos dessa nova sequência podem ser escritos como potências de base 5, pois:

$(6-1)=5=5^1\\(31-6)=25=5^2\\(156-31)=125=5^3\\(781-156)=625=5^4\\(s_6-781)=?=5^5$

Substituindo esses valores na sequência:

$S_m=[5^1,5^2,5^3,5^4,(s_6-781)]$

Veja que encontramos um padrão. Seguindo essa lógica, o próximo termo da sequência, que é $(s_6-781)$, deve ser $5^5$. Então:

$(s_6-781)=5^5\\\\s_6-781=3125\\\\s_6=3125+781\\\\s_6=3906$

Portanto, o sexto termo da sequência $S_n=[1,6,31,156,781,...]$ é 3906.

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