Matemática, perguntado por ferreiradulcineia74, 8 meses atrás

Observe a sequência: (5,10,15,20...) Quais são respectivamente o primeiro e o quinto termo dessa sequência?

Soluções para a tarefa

Respondido por viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

A RESOLUÇÃO SERÁ DADA DE DUAS FORMAS:

1ª FORMA: Observação da sequência apresentada, sem a necessidade de utilização de fórmulas.

→Observando-se a sequência (conjunto) numérica infinita (as reticências indicam isto) apresentada, percebe-se que os seus elementos estão separados por vírgula, de modo que um é maior que o seu antecessor (imediatamente anterior), particularmente cinco unidades a mais. Logo, tem-se que:

5 ⇒ ocupa a primeira posição ou possui número de ordem um;

10 ⇒ ocupa a segunda posição ou possui número de ordem dois (5+5=10);

15 ⇒ ocupa a segunda posição ou possui número de ordem três (10+5=15);

20 ⇒ ocupa a quarta posição ou possui número de ordem quatro (15+5=20).

O quinto termo, embora não explicitado, será cinco unidades maior que o quarto: 20 + 5 = 25

Da análise acima, conclui-se que o primeiro e o quinto termos dessa sequência são 5 e 25, respectivamente.

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2ª FORMA: Utilizando-se fórmulas.

(I)Interpretação do problema:

Da sequência (5, 10, 15, 20,...), tem-se:

a)cada elemento nela presente é o resultado do imediatamente anterior adicionado a um mesmo valor, a saber, 5 unidades. Se isto acontece, tem-se uma sequência numérica especial, denominada progressão aritmética.

b)progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão.

c)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 5 (é o primeiro elemento da sequência e consiste no único número não formado pela soma de um anterior com a razão);

d)quinto termo (a₅): ?

e)número de termos (n): 5

Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 5ª), equivalente ao número de termos.

f)Embora não se saiba o valor do quinto termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem, afastam-se do zero, para a direita dele, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒ ou r = a₃ - a₂ ⇒

r = 10 - 5 ⇒ r = 15 - 10

r = 5 r = 5

→Razão positiva, conforme prenunciado no item f acima.

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o quinto termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₅ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₅ = 5 + (5 - 1) . (5) ⇒

a₅ = 5 + (4) . (5) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₅ = 5 + 20 ⇒

a₅ = 25

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O primeiro e o quinto termos da sequência (5, 10, 15, 20...) são 5 e 25, respectivamente.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₅ = 25 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, a razão (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o primeiro e o quinto termos realmente correspondem ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₅ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

25 = 5 + (5 - 1) . (r) ⇒

25 = 5 + (4) . (r) ⇒

25 - 5 = 4 . r ⇒

20 = 4 . r ⇒

20/4 = r ⇒

5 = r ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

r = 5 (Provado que a₁ = 5 e a₅ = 25.)

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