Question

observe a seguinte igualdade:

a/ qual o tipo de matriz a se modo q a equação admita solução?
b/ existem 4 matrizes a q satisfazem a igualdade anterior . determine-as​

Answer 1

A matriz A é quadrada de ordem 2; As 4 matrizes são: $A=\left[\begin{array}{ccc}-1&0\\2&3\end{array}\right]$, $A=\left[\begin{array}{ccc}-1&0\\-1&-3\end{array}\right]$, $A=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\1&3\end{array}\right]$ e $A=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\-2&-3\end{array}\right]$.

a) A matriz A tem que ser quadrada de ordem 2, ou seja, ela possui duas linhas e duas colunas.

b)  Vamos considerar que a matriz A é igual a $A=\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]$.

Sendo assim, A² é igual a $A^2=\left[\begin{array}{ccc}a^2+bc&ab+bd\\ac + cd&bc+d^2\end{array}\right]$. Então, a equação é $\left[\begin{array}{ccc}a^2+bc&ab+bd\\ac + cd&bc+d^2\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}1&0\\4&9\end{array}\right]$.

Igualando os elementos correspondentes, obtemos o sistema:

{a² + bc = 1

{ab + bd = 0

{ac + cd = 4

{bc + d² = 9.

Da segunda equação, temos que:

b(a + d) = 0

b = 0 ou a = -d.

Observe que, se a = -d, então:

-dc + cd = 4

0 = 4.

O que não é verdade. Então, b = 0.

Se b = 0, então a = ±1 e d = ±3.

Se a = -1 e d = 3, então:

-c + 3c = 4

2c = 4

c = 2.

Logo, a matriz é $A=\left[\begin{array}{ccc}-1&0\\2&3\end{array}\right]$.

Se a = -1 e d = -3, então:

-c - 3c = 4

-4c = 4

c = -1.

Logo, a matriz é $A=\left[\begin{array}{ccc}-1&0\\-1&-3\end{array}\right]$.

Se a = 1 e d = 3, então:

c + 3c = 4

4c = 4

c = 1.

Logo, a matriz é $A=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\1&3\end{array}\right]$.

Se a = 1 e d = -3, então:

c - 3c = 4

-2c = 4

c = -2.

Logo, a matriz é $A=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\-2&-3\end{array}\right]$.