Question

Observe a seguinte fatoração:

a⁴-1=(a²+1)(a²-1)
A fatoração ainda não esta completa porque o fator (a²-1) tambem é uma diferença de quadrados.
Então temos:
a⁴-1=(a²+1)(a²-1)=(a²+1) (a+1)(a-1)
Agora, decomponha num produto de três fatores:
a) x⁴+1
b) 81a⁴-1
c) x^20-81
d) 625+x⁴

Answer 1

Todo polinômio de grau maior que 2 pode ser fatorado como produto de fatores (polinômios)

• do 1º grau;    ou

• do 2º grau irredutíveis;    isto é, aqueles que não possuem raízes reais.

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a) x⁴ + 1

É um polinômio de grau 4. Logo garantimos que podemos fatorá-lo.


Vamos usar completamento de quadrados:

x⁴ + 1

(x²)² + 1

= (x²)² + 2x² – 2x² + 1

= (x²)² + 2x² + 1² – 2x²

= (x² + 1)² – 2x²

= (x² + 1)² – (√2 x)²


Agora temos uma diferença entre quadrados. Podemos fatorar via produtos notáveis:

= [ (x² + 1) – (√2 x) ] · [ (x² + 1) + (√2 x) ]

= (x² – √2 x + 1) · (x² + √2 x + 1)    <———    esta é a resposta.


Note que em três fatores não é possível, pois os dois fatores acima são do 2º grau, porém irredutíveis.

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b) 81a⁴ – 1

= 3⁴a⁴ – 1⁴

= (3²a²)² – (1²)²

= (9a²) – 1²

= (9a² – 1) · (9a² + 1)

= (3²a² – 1²) · (9a² + 1)

= ((3a)² – 1²) · (9a² + 1)

= (3a – 1) · (3a + 1) · (9a² + 1)    <———    esta é a resposta

________

c) x²⁰ – 81

= (x¹⁰)² – 9²

= (x¹⁰ – 9) · (x¹⁰ + 9)

= ((x⁵)² – 3²) · (x¹⁰ + 9)

= (x⁵ – 3) · (x⁵ + 3) · (x¹⁰ + 9)    <———    esta é a resposta

________

d) 625 + x⁴

= 5⁴ + x⁴

= (5²)² + (x²)²

= (5²)² – 2 · 5²x² + 2 · 5²x² + (x²)²

= (5²)² + 2 · 5²x² + (x²)² – 2 · 5²x²

= (5² + x²)² – 50x²

= (25 + x²)² – 50x²

= (25 + x²)² – (√50 x)²


Temos uma diferença de quadrados. Podemos fatorar via produtos notáveis:

= [ (25 + x²) – (√50 x) ] · [ (25 + x²) + (√50 x) ]

= (x² – √50 x + 25) · (x² + √50 x + 25)

= (x² – 5√2 x + 25) · (x² + 5√2 x + 25)    <———    esta é a resposta


Da mesma forma da letra a, três fatores não é possível, já que temos o produto de dois fatores do 2º grau irredutíveis.


Bons estudos! :-)