Question

Observe a Reta representada abaixo e determine:
a) O coeficiente angular
b)O coeficiente linear
c) A equação reduzida da reta
d) A equação geral da reta ​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{a)~m=-2~|~b)~n=6~|~c)~y=-2x+6~|~d) ~2x+y-6=0}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar algumas propriedades de geometria analítica.

Dados dois pontos de coordenadas quaisquer do plano, eles determinam uma reta. Neste caso, estamos interessados em encontrar a reta nas formas reduzida e geral.

A reduzida terá forma:

$y=m\cdot x + n$, tal que $m$ é o coeficiente angular e $n$ é o coeficiente linear.

Pela condição de alinhamento de três pontos, podemos encontrar a reta que passa por estes pontos, utilizando matrizes.

Sejam os pontos $(x_1,~y_1)$, $(x_2,~y_2)$ e um ponto genérico $(x,~y)$.  Pela condição de alinhamento, temos que o seguinte determinante deve ser igual a zero:

$\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\ x_2&y_2&1\\ x&y&1\\\end{vmatrix}=0$

Logo, dados os pontos $(0,~6)$ e $(3,~0)$, como podemos ver no gráfico, teremos que resolver o determinante para encontrar a reta:

$\begin{vmatrix}0&6&1\\ 3&0&1\\ x&y&1\\\end{vmatrix}=0$

Para calcularmos este determinante, utilizamos a Regra de Sarrus. Consiste em replicar as duas primeiras colunas à direita do determinante e calcular a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias.

Replicando as colunas, temos:

$\left|\begin{matrix}0 & 6 &1 \\ 3&0 &1 \\ x& y & 1\end{matrix}\right.\left|\begin{matrix}0&6 \\ 3 & 0\\ x &y \end{matrix}\right.=0$

Aplicando a regra de Sarrus, temos

$0\cdot 0\cdot 1+6\cdot 1\cdot x +1\cdot 3\cdot y-(6\cdot 3\cdot 1+0\cdot1\cdot y +1 \cdot 0\cdot x)=0$

Multiplique os valores

$6x+3y-18=0$

Dividindo ambos os lados da equação por $3$, temos

$2x+y-6=0$

Esta é a equação geral da reta.

A equação reduzida será encontrada ao isolarmos $y$, logo

$y=-2x+6$

Esta é a equação reduzida desta reta.

Dessa forma, ao compararmos esta equação com aquela discutida anteriormente, vemos que:

Seu coeficiente angular $m=-2$ e seu coeficiente linear $n=6$.