Question

Observe a integral dupla a seguir em coordenadas cartesianas:

Agora, sabendo que D é o contorno do círculo de equação x² + y² = 1, assinale a alternativa que traz corretamente essa Integral Dupla convertida em coordenadas polares.

Answer 1

Fazendo a mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas polares, obtemos a integral descrita na alternativa E.

Mudança de coordenadas

Para reescrever o integrando em coordenadas polares, devemos utilizar as fórmulas de mudança de variáveis dadas na questão, ou seja:

$\sqrt{x^2 + y^2} dx dy = \sqrt{r^2} r dr d \theta$

A equação x^2 + y^2 = 1, representa um círculo de raio igual a 1, para integrar sobre esse círculo podemos variar o valor do raio de 0 a 1 e o valor do ângulo entre 0 e 2*\pi, assim vamos integrar sobre todo o círculo uma única vez, esses valores serão os novos intervalos de integração. A integral escrita em coordenadas polares é dada por:

$\int_0^{2 \pi} \int_0^1 \sqrt{r^2} r dr d \theta$

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