Question

Observe a função temporal a seguir: f(t)=e-t Cos(100t). Assinale a alternativa que contém a transformada de Laplace correta para a função f(t) mostrada

Answer 1

Temos a seguinte função em função de t:

$\: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \sf f(t) = e {}^{ - t} \: . \: cos(100t) \: \: \bullet$

A Transformada de Laplace é dada pela seguinte expressão:

$\: \: \: \: \: \: \: \:\:\:\:\boxed{ \sf \mathscr{ L } \{ t\} = \int \limits_{0}^{\infty}e {}^{ - st} \: . \: f(t) \: dt }$

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Substituindo a função dada na questão, dentro da expressão da Transformada, temos:

$\sf \mathscr{ L } \{ t\} = \int \limits_{0}^{\infty}e {}^{ - st} \: . \: f(t) \: dt \\ \\ \sf \mathscr{ L } \{ t\} = \int \limits_{0}^{\infty}e {}^{ - st} \: . \: e {}^{ - t} .cos(100t) \: dt \\ \\ \sf \sf \mathscr{ L } \{ t\} = \int \limits_{0}^{\infty}e {}^{ - st - t} \: . \: cos(100t) \: dt$

Devemos lembrar da propriedade das integrais impróprias, que é:

$\: \: \: \: \: \sf \int \limits_{0}^{\infty}f(x) \: dx = \lim_{b \to \infty} \int \limits_{0}^{b} f(x) \: dx$

Para resolver esta integral, devemos utilizar o método da integração por partes, onde se utiliza:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \sf \int u.v = u.v - \int v.du }$

Pela regra LIATE, vamos escolher para a função u sendo Cos(100t) e a função dv a exponencial:

$\sf u = cos(100t) \: \: \to \: \: \frac{du}{dt} = - 100sin(100t) \\ \\ \sf du = - 100sin(100t) \: dt$

Integrando a função v:

$\sf dv = e {}^{ - s t- t} \: \to \: \int dv = \int e {}^{ - st - t} \: dt \\ \\ \sf u = - st - t \: \to \: \frac{du}{dt} = - s - 1 \: \to \: \frac{du}{ - s - 1 } = dt \\ \\ \sf v = \int e {}^{u} \: . \: \frac{du}{ - s - 1} \: \: \to \: \: v = \frac{1}{ - s - 1} \int e {}^{u} \: du \\ \\ \boxed{\sf v = \frac{e {}^{ - st - t} }{ - s - 1} }$

Substituindo na relação da integração por partes:

$\sf \int e {}^{ - st - t} \: . \: cos(100t) = cos(100t). \left(\frac{e {}^{ - st - t} }{ - s - 1} \right) - \int \left(\frac{e {}^{ - st - t} }{ - s - 1} \right) \: . \: ( - 100sin(100t) \: dt) \\ \\ \sf \int e {}^{ - st - t} \: . \: cos(100t) = \frac{cos(100t).e {}^{ - st - t} }{ - s - 1} + \frac{100}{ - s - 1} \int e {}^{ - st - t} .sin(100t) \: dt$

Resolvendo a outra integral por partes também:

$\sf u = sin(100t) \: \: \to \: \: du = 100cos(100t) \: dt$

Para a função dv, temos:

$\sf dv = e {}^{ - st - t} \: \: \to \: \: \: v = \frac{e {}^{ - st - t} }{ - s - 1}$

Substituindo na relação:

$\sf \int e {}^{ - st - t} \: . \: sin(100t) =sin(100t). \left(\frac{e {}^{ - st - t} }{ - s - 1} \right) - \int \left(\frac{e {}^{ - st - t} }{ - s - 1} \right).(100cos(100t) \: dt) \\ \\ \sf \int e {}^{ - st - t} \: . \: sin(100t) =sin(100t). \left(\frac{e {}^{ - st - t} }{ - s - 1} \right) - \frac{100}{ - s - 1} \int e {}^{ - st - t} .cos(100t) \: dt$

Substituindo esse dado onde paramos:

$\sf \int e {}^{ - st - t} \: . \: cos(100t) = \frac{cos(100t).e {}^{ - st - t} }{ - s - 1} + \frac{100}{ - s - 1} . \left(sin(100t). \left(\frac{e {}^{ - st - t} }{ - s - 1} \right) - \frac{100}{ - s - 1} \int e {}^{ - st - t} .cos(100t) \: dt\right) \\ \\ \sf \int e {}^{ - st - t} \: . \: cos(100t) = \frac{cos(100t).e {}^{ - st - t} }{ - s - 1} + \frac{100sin(100t).e {}^{ - st - t} }{ (- s - 1) {}^{2} } - \frac{10000}{( - s - 1) {}^{2} } \int e {}^{ - st - t} .cos(100t) \: dt$

Observe que a integral do primeiro membro é igual a integral que se encontra no segundo, então:

$\sf \frac{10000}{( - s - 1) {}^{2} } \int e {}^{ - st - t} .cos(100t) \: dt + \int e {}^{ - st - t} \: . \: cos(100t) = \frac{cos(100t).e {}^{ - st - t} }{ - s - 1} + \frac{100sin(100t).e {}^{ - st - t} }{ (- s - 1) {}^{2} } \\ \\ \sf \left( \frac{10000}{( - s - 1) {}^{2} } + 1\right)\sf \int e {}^{ - st - t} \: . \: cos(100t) = \frac{cos(100t).e {}^{ - st - t} }{ - s - 1} + \frac{100sin(100t).e {}^{ - st - t} }{ (- s - 1) {}^{2} } \\ \\ \sf \left( \frac{10000 + ( - s - 1) {}^{2} }{( - s - 1) {}^{2} } \right)\sf \int e {}^{ - st - t} \: . \: cos(100t) = \frac{cos(100t).e {}^{ - st - t} }{ - s - 1} + \frac{100sin(100t).e {}^{ - st - t} }{ (- s - 1) {}^{2} } \\ \\ \sf \int e {}^{ - st - t} \: . \: cos(100t) = \frac{ \frac{cos(100t).e {}^{ - st - t} }{ - s - 1} }{\left( \frac{10000 + ( - s - 1) {}^{2} }{( - s - 1) {}^{2} } \right)} + \frac{ \frac{100sin(100t).e {}^{ - st - t} }{ (- s - 1) {}^{2} } }{\left( \frac{10000 + ( - s - 1) {}^{2} }{( - s - 1) {}^{2} } \right)} \\ \\ \sf \int e {}^{ - st - t}.cos(100t) = \frac{cos(100t).e {}^{ - st - t} .( - s - 1)}{10000 + ( - s - 1) {}^{2} } + \frac{100sin(100t).e {}^{ - st - t} }{10000 + ( - s - 1) {}^{2} } \\ \\ \sf \int e {}^{ - st - t} \: . \: cos(100t) = \frac{1}{10000 + ( - s - 1) {}^{2} } \: . \: \left[ - cos(100t).e {}^{ - st - t} - s.cos(100t).e {}^{ - st - t} + 100sin(100t).e {}^{ - st - t} \right]$

Assim que substituirmos os limites de integração e após isso o valor a qual o "b" do limite tende, teremos a seguinte resposta:

$\: \: \: \: \: \: \boxed{\sf \mathscr{L}(s) = \frac{s + 1}{10000 + (s + 1) {}^{2} } }$

Espero ter ajudado