Question

Observe a figura, onde O é incentro e a medida de BÔC é 110°. Calcule a medida de BAC.

Answer 1

Olá Somando.


O incentro de um triângulo é o ponto em que todas as bissetrizes desse triângulo se encontram.

Nota: Bissetriz é um segmento de reta que divide um ângulo em 2 ângulos iguais.

Acima temos que o ângulo formado pela bissetriz $\mathsf{A\^BC}$ e $\mathsf{A\^CB}$ é de 180º.

Afim de facilitar os cálculos, irei nomear cada uma das bissetrizes:

$\mathsf{A\^BC=\dfrac{\alpha}{2}}\\\\\\\mathsf{A\^CB=\dfrac{\beta}{2}}$

A soma dos ângulos internos da 180º, portanto temos a seguinte equação.

$\mathsf{\dfrac{\alpha}{2}+\dfrac{\beta}{2}+110\º=180\º}\\\\\mathsf{\dfrac{\alpha+\beta}{2}=180\º-110\º}\\\\\mathsf{\dfrac{\alpha+\beta}{2}=70\º~\cdot(2)}\\\\\boxed{\mathsf{\alpha+\beta=140\º}}$

Agora vamos calcular as soma dos ângulos do triângulo ABC.

$\mathsf{B\^AC=\theta}\\\\\\\mathsf{\theta+\underbrace{\mathsf{\alpha+\beta}}=180\º}\\\mathsf{\qquad140\º}\\\\\mathsf{\theta+140\º=180\º}\\\\\mathsf{\theta=180\º-140\º}\\\\\boxed{\mathsf{\theta=40\º}}$

Portanto a medida do ângulo $\mathsf{B\^AC}$ é de 40º.


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