Question

Observe a figura: ele sugere a distância entre os postos de saúde A, B, C e H sendo AC = 18 km, AB = 24 km e BÂC = 90 graus, a distância AH equivale em km, a

A) 14,2
B) 14,4
C) 14,5
D) 14,8
E) 14,9

Answer 1

olá, jovem!

já que estamos tratando de triângulos retângulos, nunca é demais cogitar fazer um Pitágoras. Tio Pitágoras sempre nos acompanhando nos problemas matemáticos.

Então, é dito na questão que o triângulo maior ABC é retângulo em Â. Vale ressaltar jovem que, quando traçamos uma perpendicular a hipotenusa de um triângulo retângulo, os dois triângulos menores formados obrigatoriamente são semelhantes entre si e entre o próprio triângulo maior (ABC).

Mas, matematicamemte, o triângulo ABC tem os ângulos 90º e B, assim como o triângulo AHB. Portanto os dois são semelhantes. Além disso, consequentemente, o triângulo AHC é semelhante ao triângulo ABC, pois compartilha o ângulo C e possui, assim como o triângulo maior, um ângulo de 90º.

Sabendo disso, vamos ao problema:

1º) Vamos descobrir o tamanho do segmento CB:

${(CB)}^{2} = {(AB)}^{2} + {(CA)}^{2} \\ {(CB)}^{2} = {24}^{2} + {18}^{2} \\ {(CB)}^{2} = {(3 \times 8)}^{2} + {(3 \times 6)}^{2} \\ {(CB)}^{2} = {3}^{2} \times {2}^{2} \times ( {4}^{2} + {3}^{2} ) \\ {(CB)} = 2 \times 3\sqrt{16 + 9} \\ {(CB)} = 6 \sqrt{25} \\ {(CB)} = 30 \: km$

Agora é só fazer uma semelhança de triângulos que descobrimos a medida de "AH":

AHC ~ ACB

•OBS.: o símbolo " ~ " significa "semelhante a"

$\frac{CB}{AB} = \frac{AC}{AH} \\ \frac{30}{24} = \frac{18}{AH} \\ \frac{5}{4} = \frac{18}{AH} \\ AH = \frac{18 \times 4}{5} \\ AH = 14,4 \: km$

Qualquer coisa, jovem, é só perguntar.