Question

Observe a figura abaixo, nela o segmento BC é paralelo à reta que contém os pontos A e D. Sabendo-se que BC mede 5cm, EF mede 4 cm e que a soma das áreas em cinza é igual a 80 cm2, determine o valor de x, medida do segmento EG

Answer 1

O valor de x, medida do segmento EG, é 16.

x = 16

O quadrilátero ABCD tem forma de trapézio.

A área de um trapézio é dada por:

A = (B + b) . h

            2

No caso, a base maior é o segmento AD; a base menor é o segmento BC; a altura é o segmento FG. Então:

B = AD

b = 5

h = x + 4

Substituindo, temos:

A = (AD + 5).(x + 4)

               2

Essa área também é a soma das áreas dos triângulos ABE, BCE, CDE e ADE. Logo:

A(ABE) + A(CDE) = 80 cm²

A(BCE) = 5.4 = 10 cm²

                 2

A(ADE) = AD.x

                 2

Somando, temos:

80 + 10 + AD.x = (AD + 5).(x + 4)

                  2                    2

90 + AD.x = AD.x + AD.4 + 5.x + 5.4

          2                           2

180 + ADx = ADx + 4AD + 5x + 20

180 = 4AD + 5x + 20

4AD + 5x = 160

Agora, observe que os triângulos ADE e BCE são semelhantes, pois seus ângulos são congruentes. Assim, seus lados correspondentes são proporcionais. Daí, tiramos a relação:

4 = 5

x     AD

4AD = 5x

Substituindo na equação acima, temos:

5x + 5x = 160

10x = 160

x = 160

      10

x = 16