Question

Observe a figura a seguir. Nessa figura, está representado o gráfico da função f(x)= b^x, b>0
Se f(1)+f(-1) = 10/3, a única afirmativa verdadeira sobre o valor de b é:

a) 0 < b < 1/9
b) 2/9< b < 4/9
c) 8/9 < b < 1
d) 1 < b < 4
e) 4 < b < 9


Gabarito B

se algém puder me explicar passo a passo a resoluçao agradeço e dou todos os meus pontos

Answer 1

Introdução ao problema :

Perceba que estamos lidando com uma função exponencial.A forma geral de toda equação exponencial é a seguinte :

$f(x) = {a}^{x}$

Sendo que,pela condição de existência da função exponencial,esse "a" deve ser maior que zero e diferente de 1.Há dois formatos possíveis para funções exponenciais,sendo que o que irá determinar esse formato é o valor do "a",de forma que se 0<a < 1,a função terá o formato que a sua função tem,com uma assíntota tendendo a zero.Já se a> 1,a função terá um formato parecido com o que eu mostrei na imagem.

Resolvendo :

Dada a função:

$f(x) = {b}^{x}$

Ele nos diz que f(1) + f(- 1) = 10/3

Então vamos substituir os valores :

f(1) = b¹

$f( - 1) = {b}^{ - 1} \\ \\ f( - 1) = \frac{1}{b}$

Então:

$b + \frac{1}{b} = \frac{10}{3} \\ \\ \frac{ {b}^{2} + 1 }{b} = \frac{10}{3} \\ \\ {b}^{2} + 1 = \frac{10b}{3} \\ \\ {b}^{2} - \frac{10b}{3} + 1 = 0$

Vamos utilizar a fórmula de Bháskara para encontrar as raízes:

$delta = {( - \frac{10}{3} )}^{2} - 4.1.1 \\ \\ delta = \frac{100}{9} - 4 \\ \\ delta = \frac{100 - 36}{9} \\ \\ delta = \frac{64}{9} \\ \\ delta = \frac{ {8}^{2} }{ {3}^{2} } \\ \\ delta = {( \frac{8}{3} )}^{2}$

Achado Delta,vamos atrás das raízes :

$b = \frac{ - ( - \frac{10}{3} + - \sqrt{ {( \frac{8}{3}) }^{2} } }{2.1} \\ \\ b = \frac{ \frac{10}{3} + - \frac{8}{3} }{2}$

Para achar as raízes,faça primeiro com o sinal positivo e depois com o sinal negativo,não necessariamente nessa ordem.

$b1 = \frac{ \frac{10}{3} + \frac{8}{3} }{2} \\ \\ b1 = \frac{ \frac{18}{3} }{2} \\ \\ b1 = \frac{6}{2} \\ \\ b1 = 3$

Agora com o sinal negativo:

$b2 = \frac{ \frac{10}{3} - \frac{8}{3} }{2} \\ \\ b2 = \frac{ \frac{2}{3} }{ \frac{2}{1} } \\ \\ b2 = \frac{2}{3} . \frac{1}{2} \\ \\ b2 = \frac{1}{3}$

Ok,temos duas raízes,uma valendo 1/3 e outra valendo 3.Kaio,as duas são verdadeiras ?Não.Lembra lá no começo que eu disse que,pelo formato da sua função,o "a" dela,que nesse caso é a letra "b",seria um número entre 0 e 1?Pois então,a raiz verdadeira será aquela entre 0 e 1,ou seja :

$b = \frac{1}{3}$

Esse valor,olhando as alternativas,está entre 2/9 e 4/9

$\frac{2}{9} < b < \frac{4}{9}$

Como descrito na letra B)

Espero ter ajudado,deixa qualquer dúvida aí nos comentários.Bons estudos :v