Question

Observe a equação que descreve a tensão no circuito no domínio da frequência:
V(s)=10s/(s+1).(s+2).(s+3)
Utilizando expansão em frações parciais e Transformada de Laplace inversa, assinale a alternativa que apresenta o mesmo valor de tensão, porém no domínio do tempo.
A v(t)=−5e−3t+15e−2t+20e−3tV
B v(t)=25e−t+15e−2t−20e−tV
C v(t)=15e−5t+20e−3tV
D v(t)=−15e−t+20e−2t−5e−3tV
E v(t)=−5e−t+20e−2t−15e−3tV

Answer 1

Tal como indicado, começamos por fazer a expansão em frações parciais, isto é, determinamos as constantes $A, B, C \in\mathbb{R}$ tais que:

$\displaystyle V(s) = \frac{10s}{(s+1)(s+2)(s+3)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+2} + \frac{C}{s+3}.$

Isto implica que:

$\displaystyle 10s = A(s+2)(s+3)+B(s+1)(s+3) + C(s+1)(s+2).$

Como a igualdade deve ser válida para qualquer valor de $s$, é útil considerar os valores que anulem cada um dos termos à direita:

$s=-1 \implies -10 = A(-1+2)(-1+3) \iff -10 = 2A \iff A = -5;\\s=-2 \implies -20 = B(-2+1)(-2+3) \iff -20 = -B \iff B = 20;\\s = -3 \implies -30 = C(-3+1)(-3+2) \iff -30 = 2C \iff C = -15.$

Pelo que a expressão para a tensão no domínio da frequência é:

$\displaystyle V(s) = -\frac{5}{s+1}+\frac{20}{s+2}-\frac{15}{s+3}.$

Consideremos agora uma função no domínio da frequência dada por:

$\displaystyle F(s) = \frac{1}{s+a}, \textrm{ com } a \in\mathbb{R}.$

A transformada de Fourier inversa é dada por:

$\displaystyle {\mathcal L}^{-1}\{F\}(t) = \frac{1}{2\pi i}\lim\limits_{y\to\infty} \int\limits_{x-iy}^{x+iy}e^{ts}F(s)\textrm{ d}s.$

Aplicando o teorema dos resíduos, vem que o integral é dado por:

$\displaystyle\sum\limits_{p \in P} \underset{s=p}{\textrm{Res\,}}[e^{ts}F(s)],$

onde $P$ designa o conjunto dos polos de $e^{ts}F(s)$.

Neste caso, tem-se:

$\displaystyle e^{ts}F(s) = \frac{e^{ts}}{s+a},$

que tem apenas um polos simples em $s=-a$, com resíduo:

$\displaystyle \underset{s = -a}{\textrm{Res\,}} \left(\frac{e^{ts}}{s+a}\right) = \lim\limits_{s \to -a} \left[\frac{e^{ts}}{s+a}(s+a)\right] = \lim\limits_{s \to -a} \left(e^{ts}\right) = e^{-ta}.$

Obtém-se finalmente:

$\displaystyle {\mathcal L}^{-1}\{F\}(t) = e^{-ta}.$

Aplicando a transformada de Laplace inversa à expressão de $V(s)$ e aplicando as propriedades de linearidade, vem:

$\displaystyle v(t) = -5{\mathcal L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+1}\right\}+20{\mathcal L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+2}\right\}-15{\mathcal L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+3}\right\}.$

Tomando sucessivamente $a = 1,2,3$ na expressão obtida para ${\mathcal L}^{-1}\{F\}$, vem, por fim:

$v(t) = -5e^{-t} + 20e^{-2t} -15 e^{-3t}.$

Resposta: E