Question

Observe a equação algébrica, que possui 3 raízes reais e uma delas é –2, apresentada no quadro abaixo.



2x3–8x2–8x+32=0



Quais são as outras duas raízes dessa equação?

– 2 e 2.
0 e 2.
2 e 4.
2 e 8.
6 e 8.

Answer 1

Usando a divisão de polinómios, encontramos um polinómio que

contém  as duas raízes que faltavam calcular:

2 e 4

Equação completa de terceiro grau é do tipo :

$y~=~ax^3~+~bx^2~+~cx~+d$

Com os coeficientes  →  a ; b ; c ; d  ∈ |R

$2x^3 -8x^2 -8x +32=0$

• Como " - 2 " é uma raiz do polinômio no primeiro membro, se o dividirmos por ( x - ( -2 )) vai dar resto zero.

e

• o quociente vai ser uma equação de grau " 3 - 1 " = 2

Nota : ( x - ( - 2 ) ) = x + 2

Vou fazer essa divisão por partes para poder entender-se melhor.

$\begin{array}{r|l}\bf Dividendo&\kern-5pt\underline{\bf~~ Divisor \qquad}\\\sf Resto&\bf Quociente\\&\end{array}$

$\begin{array}{r|l}\bf 2x^3 -8x^2 -8x +32&\kern-5pt\underline{\bf~~ x+2 \qquad}\\\sf Resto&\bf Quociente\\&\end{array}$

• Para descobrir a primeira parcela no Quociente, divide-se o monômio de maior grau do dividendo,  pelo " x do divisor "$\dfrac{x^3}{x} = x^{3-1} =x^2$

• agora multiplica x² por cada uma das parcelas do divisor.

• Os resultados obtidos vão se subtrair ao dividendo  ( na realidade estou a trocar o sinal e adicionar)

$2x^2\cdot x=2x^3$

• troco o sinal fica $-2x^3$

• fazendo o mesmo com a outra parcela

$\begin{array}{r|l}\bf 2x^3 -8x^2 -8x +32&\kern-5pt\underline{\bf~~ x+2 \qquad}\\\sf -2x^3~-4x^2~~~~~~~~~~~~~~~&\bf 2x^2\\&\end{array}$

$2x^3-8x^2-8x+32+(-2x^3-4x^2)=-12x^2-8x+32$

• tem-se um novo dividendo e mantemos as restantes partes

$-\dfrac{12x^2}{x} =-12x$

$\begin{array}{r|l}\bf -12x^2 -8x +32&\kern-5pt\underline{\bf~~ x+2 \qquad}\\\sf +12x^2+24x~~~~~~~&\bf 2x^2-12x\\&\end{array}$

$-12x^2-8x+32+(12x^2+24x)=16x+32$  

• tem-se outro dividendo e mantemos as restantes partes

$\begin{array}{r|l}\bf 16x +32&\kern-5pt\underline{\bf~~ x+2 \qquad}\\\sf -16x~-32&\bf 2x^2-12x+16\\&\end{array}$

$+16x+32+(-16x-32)=0$

$\begin{array}{r|l}\bf 2x^3 -8x^2 -8x +32&\kern-5pt\underline{\bf~~ x+2 \qquad}\\\sf 0&\bf 2x^2-12x+16\\&\end{array}$

• obtemos resto zero, como previsto , e um quociente $2x^2-12x+16$ , polinômio do segundo grau

Encontrar as raízes deste novo polinómio usando Fórmula de Bhaskara

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}~~~~~\Delta=b^2-4\cdot a\cdot c$

Mas antes simplifico a equação :

$\dfrac{2x^2}{2} -\dfrac{12x}{2} +\dfrac{16}{2} =\dfrac{0}{2}$

$x^2-6x+8=0\\\\a =~1\\b =-6\\c =~8\\\\\Delta=(-6)^2-4\cdot 1\cdot8=36-32=4\\\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{4}=2\\\\\\x_{1}=\dfrac{-(-6)+2}{2\cdot1}\\\\\\x_{1}=\dfrac{6+2}{2}=4\\\\\\x_{2}=\dfrac{6-2}{2}=2$

As outras duas raízes são 2 e 4

Veja mais sobre divisão de polinómios, com Brainly:

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Bons estudos.

Att  Duarte Morgado

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$( \cdot )~~multiplicac_{\!\!,}\tilde{a}o$                       ( ∈ ) pertence a

( |R )   conjunto números reais

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.

Answer 2

Resposta:  Usando a divisão de polinómios, encontramos um polinómio que

contém  as duas raízes que faltavam calcular:

2 e 4

Explicação passo a passo: