Question

Observe a equação a seguir:

$x^2-4m^2x+m^2=0$

Para que essa equação não tenha raízes reais, a seguinte condição deve ser satisfeita

$a)- \dfrac{1}{2} \ \textless \ m\ \textless \ \dfrac{1}{2}$

$b) m \neq 1$

$c) m \ \textless \ - \dfrac{1}{2}$

$d)- \dfrac{1}{2} \ \textless \ m\ \textless \ 0\ ou\ 0\ \textless \ m\ \textless \ \dfrac{1}{2}$

 $e)\ m \neq 1\ e\ -\dfrac{1}{2} \ \textless \ m\ \textless \ \dfrac{1}{2}$

Answer 1

Olá Popeye1!!

Uma equação de grau 2 não admite raízes reais quando o valor do discriminante é MENOR que zero. Isto posto, fazemos:

$\displaystyle \mathsf{\Delta < 0} \\\\ \mathsf{(- 4m^2)^2 - 4 \cdot (1) \cdot (m^2) < 0} \\\\ \mathsf{16m^4 - 4m^2 < 0} \\\\ \mathsf{4m^2(4m^2 - 1) < 0 \qquad \div(4} \\\\ \mathsf{m^2(4m^2 - 1) < 0}$

 Estudemos o sinal da desigualdade acima.

 Quanto ao factor m², podemos desconsiderá-lo, afinal, ele será sempre positivo e isto não irá interferir no sinal da inequação. Segue,

 Quanto ao segundo factor, devemos determinar suas raízes e estudar seu sinal. Daí,


___+____(- 1/2)____-_____(1/2)____+____


 Como o sinal da desigualdade é MENOR "pegamos" o MENOS...

Portanto, concluímos que

$\boxed{\mathsf{- \frac{1}{2} < m < \frac{1}{2}, \, \forall m \in \mathbb{R}}}$

é a resposta que procurávamos!