Question

Observando o eixo abaixo, determine nos mancais A e B os valores das reações verticais

Answer 1

Só nos interessam as componentes verticais das forças aplicadas. Para este cálculo, será desprezado o efeito do peso da barra.


Consideremos o eixo horizontal coordenado com origem no mancal $A.$

As forças aplicadas são dadas por $F_{i}$

e as respectivas distâncias dos pontos de aplicação de cada força em relação à origem (mancal $A$) são dadas por $x_{i}:$


Tomando apenas as componentes verticas de cada força, temos:

$\bullet\;\;F_{1}=500\cdot \frac{3}{5}\;\;\Rightarrow\;\;F_{1}=300\mathrm{\;N}\\ \\ x_{1}=5\mathrm{\;m}\\ \\ \\ \bullet\;\;F_{2}=200\mathrm{\;N}\\ \\ x_{2}=5+3\;\;\Rightarrow\;\;x_{2}=8\mathrm{\;m}\\ \\ \\ \bullet\;\;F_{3}=260\cdot \frac{12}{13}\;\;\Rightarrow\;\;F_{3}=240\mathrm{\;N}\\ \\\ x_{3}=5+3+2\;\;\Rightarrow\;\;x_{3}=10\mathrm{\;m}$


As reações verticais nos mancais $A$ e $B$ são, respectivamente

$\bullet\;\;R_{_{A}}\;\text{ e }\;R_{_{B}}$

e ambas estão orientadas para cima.


O comprimento total da barra (a distância entre os mancais) é

$L=5+3+2+4\;\;\Rightarrow\;\;L=14\mathrm{\;m}$


$\bullet\;\;$ Aplicando a 2ª Lei de Newton ao sistema, devemos ter

$R_{_{A}}-F_{1}-F_{2}-F_{3}+R_{_{B}}=0\\ \\ R_{_{A}}+R_{_{B}}=F_{1}+F_{2}+F_{3}\\ \\ R_{_{A}}+R_{_{B}}=300+200+240\\ \\ R_{_{A}}+R_{_{B}}=740\mathbf{\;N}\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


$\bullet\;\;$ A soma de todos os momentos em relação ao ponto $A$ deve ser nula.


Adotando a seguinte convenção:

Forças que tendem a girar em torno do ponto $A$ no sentido horário geram momento negativo;

Forças que tendem a girar em torno do ponto $A$ no sentido anti-horário geram momento positivo.


Então, devemos ter

$-x_{1}\cdot F_{1}-x_{2}\cdot F_{2}-x_{3}\cdot F_{3}+L\cdot R_{_{B}}=0\\ \\ L\cdot R_{_{B}}=x_{1}\cdot F_{1}+x_{2}\cdot F_{2}+x_{3}\cdot F_{3}\\ \\ R_{_{B}}=\dfrac{x_{1}\cdot F_{1}+x_{2}\cdot F_{2}+x_{3}\cdot F_{3}}{L}\\ \\ \\ R_{_{B}}=\dfrac{5\cdot 300+8\cdot 200+10\cdot 240}{14}\\ \\ \\ R_{_{B}}=\dfrac{1\,500+1\,600+2\,400}{14}\\ \\ \\ R_{_{B}}=\dfrac{5\,500}{14}\mathrm{\;N}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c} R_{_{B}}\approx 392,9\mathrm{\;N} \end{array}}$


Substituindo na equação $\mathbf{(i)}$ o valor encontrado acima, temos

$R_{_{A}}+\dfrac{5\,500}{14}=740\\ \\ \\R_{_{A}}=740-\dfrac{5\,500}{14}\\ \\ \\ R_{_{A}}=\dfrac{740\cdot 14-5\,500}{14}\\ \\ \\ R_{_{A}}=\dfrac{10\,360-5\,500}{14}\\ \\ \\ R_{_{A}}=\dfrac{4\,860}{14}\mathrm{\;N}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c}R_{_{A}}\approx 347,1\mathrm{\;N} \end{array}}$