Question

Observando a reprodução de uma espécie de bactéria, um cientista verificou que, a cada hora, a bactéria se dividia em duas.

a) Quantas bactérias ele encontrará depois de cinco horas, se colocar uma bactéria para se reproduzir na lamínula de observação

b) e no final de 12 horas?
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Answer 1

Resposta:

1. Início: 1 bactéria se divide= 2

2  1ª hora: 2 bactérias se dividem= 4

3. 2ª hora: 4 bactérias se dividem= 8

4. 3ª hora: 8 bactérias se dividem= 16  

Explicação passo a passo:

Answer 2

Para a bactéria analisada, temos que passadas 5 horas haverá 32 bactérias na lamínula. Caso esta colônia continue em observação, passadas 12 horas haverá um total de 4096 bactérias.

Explicação:

Matematicamente, podemos dizer que o número de bactérias dentro da lamínula é uma função do tempo transcorrido, ou ainda que:

$n=f\left( t \right)$

onde n representa o número de bactérias na lamínula e t é o tempo transcorrido em horas.

Para desenvolvermos a lei de formação da f(t) precisamos analisar o que acontece com o número de bactérias nos primeiros intervalos de tempo. Vamos analisar a seguir o que acontece com a colônia de bactérias nas 2 primeiras horas de análise:

• Condição inicial (t = 0 horas): Ainda não houve reprodução.

$n=1\: bacteria$

• Passada uma hora (t = 1 hora): Houve reprodução da única bactéria contida na lamínula.

$n=2\: bacterias$ (o número de bactérias dobrou)

• Passadas duas horas (t = 2 horas): As duas bactérias se reproduziram.

$n=4\: bacterias$ (o número de bactérias dobrou novamente)

Fica evidenciado, pela análise anterior, que o número de bactérias dobra a cada passagem de hora. Isso significa que a lei de formação da nossa função de número de bactérias precisa considerar um relação entre o número 2 (para representar o dobro) e a variável tempo.

Dentro dos diversos tipos de funções que conhecemos, a que melhor se encaixa para descrever esta situação é uma função exponencial de base 2. Desta forma, no função pode ser escrita como sendo:

$\bold{n\left (t \right)=2^t}$

Para testarmos a veracidade da função, podemos utilizar os intervalos de tempo acima para sabermos se as respostas são iguais:

• Condição inicial (t = 0 horas)

$n\left (0 \right)=2^0$

$n\left (0 \right)=1\: bacteria$

• Passada uma hora (t = 1 horas)

$n\left (1 \right)=2^1$

$n\left (1 \right)=2\: bacterias$

• Passadas duas horas (t = 2 horas)

$n\left (2 \right)=2^2$

$n\left (2 \right)=4\: bacterias$

Como os valores encontrados foram os mesmos da primeira análise, concluímos que a nossa função para este caso está correta.

Por fim, para encontrarmos o número de bactérias nos instantes de tempo de 5 horas e de 12 horas, basta utilizar a função novamente:

• Para t = 5 horas

$n\left (5 \right)=2^5$

$\bold{n\left (5 \right)=32\: bacterias}$

• Para t = 12 horas

$n\left (12 \right)=2^{12}$

$\bold{n\left (12 \right)=4096\: bacterias}$

Obs.: Caso o número de bactérias inicialmente dentro da lamínula fosse diferente de 1, a função encontrada precisaria contemplar isso através de um termo $n_0$, o qual representa esta quantidade inicial. Assim, a lei de formação seria alterada para:

$\bold{n\left (t \right)=n_{0}\cdot 2^t}$

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