Question

Obs: colocar todos os cálculos, e explicar.

Assunto: máximos e mínimos.

1) Determine o retângulo de área máxima inscrito num semicírculo, de forma que um de seus lados esteja sobre o diâmetro.

Answer 1

Olá, Luana.

Para que um retângulo inscrito num semicírculo tenha sua área máxima, estando sua base sobre o diâmetro, o centro da base do retângulo deve coincidir com o centro do semicírculo.
Sendo assim, a reta que liga o centro da base do retângulo a um de seus vértices superiores coincide com o raio do semicírculo.
Chamando de x e y, respectivamente, a base e a altura do retângulo, temos, então, pelo Teorema de Pitágoras, que (x/2)² + y² = r², onde r é o raio do semicírculo.
Desta expressão, tiramos que y² = r² - x²/4 (i).
A área do retângulo é igual a A(x,y) = xy. Para facilitar os cálculos, adotaremos a área ao quadrado, ou seja, A²(x,y) = x²y².
Substituindo o valor de y² obtido em (i) na expressão do quadrado da área, temos:

$A\²(x) = x\² (r\² - \frac {x\²} 4) = r\²x\² - \frac{x^4}4$

Derivando A²(x) e igualando a zero, temos:

2r²x - x³ = 0 ⇒ x (2r² - x²) = 0 ⇒ x² = 2r² ⇒ $\boxed{x^*=\sqrt2\,r}$

Substituindo o valor de x* encontrado em (i), temos: 

y² = r² - x²/4 ⇒ y² = r² - $\frac12$r² ⇒ y² = $\frac12$r² ⇒

$y=\sqrt{\frac12\,r^2}\Rightarrow\boxed{y^*=\frac{\sqrt2}2\,r}$