Question

obs: colocar todos os cálculos, e explicar.
Assunto: máximos e mínimos.

1) Deseja-se construir uma caixa sem tampa em forma de um cilindro circular reto de volume dado. Determine dimensões da caixa, de forma que sua área seja a menor possível.

Answer 1

Temos uma caixa cilíndrica cujo volume $V$ foi previamente fixado, isto é, conhecemos o valor de $V.$

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Considerando

$h:$ altura do cilindro;

$r:$ raio da base do cilindro;


sabemos que

$V=\pi r^2\cdot h\\\\ h=\dfrac{V}{\pi r^2}~~~~~~\mathbf{(i)}$


e a área total do cilindro (área lateral + área da base, sem a tampa) é dada por

$A=2\pi r h+\pi r^2\\\\\\ A=2\diagup\!\!\!\!\pi r \cdot \dfrac{V}{\diagup\!\!\!\! \pi r^2}+\pi r^2\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c} A(r)=\dfrac{2V}{r}+\pi r^2 \end{array}}~~~~~\text{com }r>0$

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O problema consiste em encontrar o mínimo global da função $A(r)\,,$ restrito à condição $r>0.$


Encontrando a primeira e a segunda derivada de $A:$

$\bullet\;\;A'(r)=-\dfrac{2V}{r^2}+2\pi r\\\\\\ \bullet\;\;A''(r)=\dfrac{4V}{r^3}+2\pi$

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Pontos críticos de $A:$

$A'(r)=0\\\\\ -\dfrac{2V}{r^2}+2\pi r=0\\\\\\ -\dfrac{2V}{r^2}+\dfrac{2\pi r^3}{r^2}=0\\\\\\ \dfrac{-2V+2\pi r^3}{r^2}=0\\\\\\ -2V+2\pi r^3=0\\\\ 2\pi r^3=2V\\\\ r^3=\dfrac{\diagup\!\!\!\! 2V}{\diagup\!\!\!\! 2\pi}$

$\boxed{\begin{array}{c} r_0=\,^3\!\!\!\!\sqrt{\dfrac{V}{\pi}} \end{array}}$


Esse é o único ponto crítico no intervalo de interesse. Como garantir que esse é o ponto de mínimo de $A?$

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Vamos olhar para a segunda derivada. Perceba que

$A''(r)=\dfrac{4V}{r^3}+2\pi>0~~~~~\text{para todo }r>0$

Como a segunda derivada é sempre positiva, garantimos que o gráfico de $A$ tem concavidade voltada para cima em $(0,\,+\infty).$


Logo, $r_0=\,^3\!\!\!\!\sqrt{\dfrac{V}{\pi}}$ é o ponto de mínimo (global) de $A.$

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Encontrando a altura da caixa, para $r=r_0:$

$h_0=\dfrac{V}{\pi r_0^2}\\\\\\ h_0=\dfrac{V}{\pi \cdot \,^3\!\!\!\!\sqrt{\frac{V}{\pi}}}\\\\\\ h_0=\dfrac{V}{\,^3\!\!\!\!\sqrt{\frac{V\pi^3}{\pi}}}\\\\\\ h_0=\dfrac{V}{\,^3\!\!\!\sqrt {V \pi^2}}\\\\\\ h_0=\,^3\!\!\!\!\sqrt{\dfrac{V^3}{V \pi^2}}\\\\\\ h_0=\,^3\!\!\!\!\sqrt{\dfrac{V^2}{\pi^2}}$

$h_0=\,^3\!\!\!\!\sqrt{\left(\dfrac{V}{\pi} \right )^{\!\!2}}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c} h_0=\left(\dfrac{V}{\pi} \right )^{\!\!2/3} \end{array}}$