Question

obmep um polígono convexo é elegante quando ele pode ser decomposto em triângulos equiláteros, quadrados, ou ambos, todos com lados de mesmo comprimento. A seguir, mostramos alguns polígonos elegantes, indicando para cada um deles uma decomposição e o número de lados

Answer 1

a) Um exemplo de polígono elegante com oito lados segue anexo

b) Como um polígono elegante é convexo e é formado colocando lado a lado quadrados e triângulos  equiláteros, seus ângulos são somas de parcelas iguais a   60º ou   90º que não ultrapassem   180º . Os  valores possíveis são então   60º, 90º, 120º = 60º + 60º e  150º = 60º + 90º  .

c) Sabemos que a soma dos ângulos internos de um polígono com n lados é o  ( n-2) × 180º . Por  outro lado, vimos no item (b) que o maior valor possível do ângulo interno de um polígono elegante  é o  150º ; logo, a soma dos ângulos internos de um polígono elegante de n lados é no máximo  o  n×150º . Temos então 180( n-2) ≤ 150n  e segue que 30n ≤ 360 , ou seja, n ≤12 .

d) A figura à esquerda mostra um polígono elegante de 12 lados.  segue anexo