Question

(OBMEP) os seus triângulos da figura São retângulos e seus ângulos com vértice no ponto A são iguais. Além disto, AB=24 e AC=54. Qual o comprimento de AS?

Answer 1

Na figura, todos os triângulos são semelhantes, pois todos tem dois ângulos com medidas iguais: os ângulos do vértice A e os ângulos retos. Então os lados correspondentes são proporcionais. Chamando de a, x, d e c os lados indicados, vamos ter que $\frac{24}{a} = \frac{a}{b} = \frac{b}{x} = \frac{x}{c} = \frac{c}{d} = \frac{d}{54}$. Se multiplicamos os 3 primeiros termos e os três últimos termos e separando-os, vamos ter que $\frac{24ab}{abx} = \frac{xcd}{54cd}$. Agora segue:
$\frac{24ab}{abx} = \frac{xcd}{54cd}$
$\frac{24}{x} = \frac{x}{54}$
Multiplicamos cruzado e resolvemos a equação:
$x.x = 24.54$
$x^{2} = 1296$
$x = \sqrt{1296}$
x=36
Portanto o segmento AD, que correspondia ao valor de x, mede 36.