Question

(OBMEP) No segmento AB da figura existem vários pontos de coordenadas inteiras, como por exemplo, (164,110). Quantos pontos com as duas coordenadas inteiras existem nesse segmento, contando os extremos:

Gráfico:
(902,602)
(164,110)
(2,2)

Answer 1

Vamos determinar a equação da reta primeiro, pois os pontos estão nele, certo? 

Temos 2 pontos: (2,2) e (902, 602) e y = ax + b: 

{2 = 2a + b.....................(1) 
{602 = 902a + b..............(2) 

(2) - (1): 

600 = 900a 
a = 2/3 

subst em (1): 
2 = 2a + b 
b = 2 - 2/2/3 = 2/3 

Então a reta é y = 2/3 x + 2/3. 

O primeiro ponto é x= 2: 

y = 2/3 . 2 + 2/3 = 6/3 = 2...ok! 

Agora, como os pontos são coordenadas inteiras, vamos testando para quais valores inteiros de x, y também é inteiro. Eu já rascunhei e vou colocar apenas os que satisfazem a condição: 

x = 2.....y = 2 
x = 5.....y = 4 
x = 8.....y = 6 
x = 11...y = 8 
x = 14...y = 10 
. 
. 
x = 902... y = 602 

note que é uma P.A., tanto o x quanto o y. Note também, que se contarmos o número de termos desta PA, acharemos o número de coordenadas inteiras neste segmento de reta: 

Agora, vamos escrever o termo de uma P.A., com a[1] = 2; razão = 3 e a[n] = 902: 

a[n] = a[1] + (n-1)r 
902 = 2 + (n-1) 3 
902 = 2 + 3n - 3 
903 = 3n 
n = 301 => são 301 termos nesta PA <=> nº de coordenadas neste intervalo. 

para y também dá certo: a[1] = 2, razão = 2 e a[n] = 602 

602 = 2 + (n-1) 2 
602 = 2n 
n = 301 

Portanto, letra E, 301 coordenadas inteiras