Question

(OBMEP)No primeiro estágio de um jogo Paulo escreve o número 3 em um triângulo e o número dois em um quadrado em cada estágio seguinte como escreve um triângulo a soma dos números do estágio anterior e no quadrado a diferença entre o maior e o menor desses números Qual é o número escrito no triângulo no 56° estágio? ​

Answer 1

O número escrito no triângulo no 56º estágio é 5 ⋅ 2²⁷.

• Construa uma tabela com os valores literais de Δ e $\square$ em função do estágio E, em seguida determine uma lei de formação e use-a para determinar o valor para o 56º estágio.
• Considere que os números do primeiro estágio, 3 e 2 sejam a e b.

a = 3

b = 2

Observe que:

Δ: Soma dos números do estágio anterior.

$\square$: Diferença ente o maior e o menor.¹

• ¹ Observe que Δ é sempre maior que $\square$ pois:

3 > 2

a > b

2a > 2b

(2a + 2b) > (2a − 2b)

$\begin{tabular}{|c|c|c|}\cline{1-3} E& \Delta & \square\\\cline{1-3} 1 & a=3 & b=2\\2 & a+b & a-b \\3 & a+b+a-b=\bf 2a & a+b-(a-b)=\bf 2b\\4 & 2a+2b & 2a-2b\\5 & 2a+2b+2a-2b= \bf 4a & 2a+2b-(2a-2b)= \bf 4b\\6 & 4a+4b & 4a-4b\\7 & 4a+4b+4a-4b=\bf 8a & 4a+4b-(4a-4b)= \bf 8b\\8 & 8a+8b & 8a-8b\\\cline{1-3}\end{tabular}$

• É pedido o resultado no triângulo do 56º estágio, que é um estágio par, descarte os estágios impares e observe que os resultados nos estágios pares são similares entre si.

$\begin{tabular}{|c|c|c|}\cline{1-3} E& \Delta & \square\\\cline{1-3} 1 & a=3 & b=2\\2 & a+b & a-b \\4 & 2a+2b & 2a-2b\\6 & 4a+4b & 4a-4b\\8 & 8a+8b & 8a-8b\\\cline{1-3}\end{tabular}$

• Para simplificar fatore os resultados. Despreze a coluna $\square$, pois só é pedido o valor na coluna Δ.

$\begin{tabular}{|c|c|}\cline{1-2} E& \Delta \\\cline{1-2} 1 & a=3 \\2 & a+b \\4 & 2(a+b) \\6 & 4(a+b) \\8 & 8(a+b) \\\cline{1-2}\end{tabular}$

• Observe que os fatores 2, 4, 8, … podem ser escritos como uma potência base 2.

$\begin{tabular}{|c|c|}\cline{1-2} E& \Delta \\\cline{1-2} 1 & a=3 \\2 & 2^0(a+b) \\4 & 2^1(a+b) \\6 & 2^2(a+b) \\8 & 2^3(a+b) \\ \vdots & \\E & \Large 2^e(a+b) \\\cline{1-2}\end{tabular}$

• Determinar a lei de formação que relacione o valor do estágio (E) com o expoente (e) da base 2.

$\large \sf e=\dfrac{E}{2}-1$

$\begin{tabular}{|c|c|}\cline{1-2} E& \Delta \\\cline{1-2} 1 & a=3 \\2 & 2^0(a+b) \\4 & 2^1(a+b) \\6 & 2^2(a+b) \\8 & 2^3(a+b) \\ \vdots & \\E & \Large \text { 2^{\left(\frac{E}{2}-1\right)}\cdot(a+b) } \\\cline{1-2}\end{tabular}$

• Determine o valor de Δ para o estágio 56. Observe que a+b = 5.

$\large \text { \sf \Delta = 2^{\left(\frac{E}{2} -1\right)} \cdot (a+b) }$

$\large \text { \sf \Delta = 2^{\left(\frac{56}{2} -1\right)} \cdot 5 }$

$\large \sf \Delta = 2^{(28-1)} \cdot 5$

$\large \sf \Delta = 2^{27} \cdot 5$

Δ = 5 ⋅ 2²⁷

Resposta: Alternativa A.

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