Question

(OBMEP) Na figura, os cinco quadrados são iguais, e os vértices do polígono sombreado são pontos médios dos lados dos quadrados. Se a área do polígono sombreado é de $1cm^{2}$ , qual é a área do polígono sombreado?
Obs: Com explicação se possível!

Answer 1

Acredito que seja o quadrado que tenha a área de $1~cm^2$. Assim, observando a imagem que anexei temos:

A = área do quadrado
B = área do retangulo
C = área do triangulo

Logo temos que a área ($S$) do polígono é dada por:

 $S = A + 4B + 4C$

Temos que A=$1~cm^2$, tomando $l$ como o lado do quadrado:

$A = l*l \\ \\ 1 = l^2 \\ \\ l = 1~cm^2$

Logo, pelos pontos médios temos o valor de B:

$B = \dfrac{l}{2} *l \\ \\ \\ B = \dfrac{1}{2}*1 \\ \\ \\ B = \dfrac{1}{2}~ cm^2$

Novamente pelos pontos médios temos o valor de C:

$C = \dfrac{\frac{l}{2}* \frac{l}{2} }{2} \\ \\ \\ C = \dfrac{1}{4}* \dfrac{1}{2} \\ \\ \\ C = \dfrac{1}{8}~cm^2$

Logo a área do polígono é de:

$S = A + 4B + 4C \\ \\ S = 1 + 4* \frac{1}{2} + 4* \frac{1}{8} \\ \\ S = 1 +2 + \frac{1}{2} \\ \\ S = 3 + \frac{1}{2} \\ \\ S = \frac{6 + 1}{2} = \frac{7}{2} = 3,5~cm^2$