Question

(OBMEP)Na figura, dois vértices do hexágono regular maior coincidem com dois vértices do hexágono menor. O hexágono menor tem área igual a 10 cm^2. Qual é a área do hexágono maior?

a)20 cm^2
b)30 cm^2
c)35 cm^2
d)36 cm^2
e)40 cm^2

(Preciso da revolução)

Answer 1

Observe os anexos.

Um hexágono regular é composto por 6 triângulos equiláteros. A sua área é :

A(hex) = 6 * A(teq)

A(hex) ⇒ Área do hexágono de lado "L";
A(teq) ⇒  Área do triângulo equilátero de lado "L"...

Sendo A(teq) = L² *√ 3 / 4 :

A(hex) = 6 * L² *√ 3 / 4

A(hex) = 3 * L² *√ 3 / 2

Para o hexágono menor, sendo A(hex) = 10 cm² e L = "x" :

3 * x² *√ 3 / 2 = 10

x² = (10 * 2) / (3 * √3)

x² = 20 / (3 * √3)

O triângulo intersecção entre os hexágonos foi destacado no desenho.

Sendo "x" o lado do hexágono menor e "y" o do maior...

Como os ângulos internos de cada triângulo dos hexágonos mede 60°, o ângulo entre cada lado é (60° + 60°) = 120°.

Aplicando a lei do cosseno :

a² = b² + c² - 2*b*c*cos(Â)

(cos(Â) = cosseno do ângulo oposto ao lado 'a') :

Sendo ⇒
a = y (lado do hexágono maior);
b e c = x (lado do hexágono menor);
cos(Y) = 120°.

y² = x² + x² -2*x*x*cos(120°)

y² = 2*x² - 2*x²*cos(120°)

Sendo ⇒
x² = 20 / (3 * √3);
cos(120°) = -1/2...

y² = (2 * 20 / (3 * √3)) - (2 * 20 / (3 * √3)* -1/2)

y² = (40 / (3 * √3)) - (-20 / (3 * √3))

y² = (40 / (3 * √3)) + (20 / (3 * √3))

y² = (40 + 20) / (3 * √3)

y² = 60 / (3 * √3)

y² = 20 / √3

Agora, para o hexágono maior de lado "y" :

Sendo a área do hexágono regular A(hex) = 3 * L² *√ 3 / 2 e "L" = y :

A(hex) = 3 * y² *√ 3 / 2 ⇒ (y² = 20 / √3)

A(hex) = 3 * 20 / √3 * √3 / 2

A(hex) = 3 * 20 / 2

A(hex) = 3 * 10

A(hex) = 30 cm² ⇒ Área do hexágono maior !