Question

Obmep) Na figura a seguir, o número 7 ocupa a casa central. É possível colocar os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 e 9, um em cada uma das casas restantes, de modo que a soma dos números na horizontal seja igual à soma dos números na vertical. Qual é essa soma?

A) 22

B) 23

C) 24

D) 25

E) 26

Answer 1

Resposta:

E) 26

Explicação passo-a-passo:

Oi! Para resolvermos essa questão da Obmep, temos que analisar os números que podemos utilizar para preencher os espaços. Eles são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 e 9.

Queremos que a soma dos números na horizontal seja igual a soma dos números na vertical.

Vamos chamar essa soma de $S$. Nas duas opções (vertical e horizontal) já existe o número 7 incluso nessa soma, pois ele está presente no meio da cruz. Então, a soma dos demais números será $S-7$, tanto na horizontal quanto na vertical. Já que o resultado será o mesmo, podemos ignorar completamente o 7, pois independentemente do número já existente no centro do desenho, a soma restante será igual.

Agora que já sabemos que o nosso único foco é nos números restantes, vamos analisá-los.

Podemos perceber uma coisa interessante quanto a soma deles. Se os colocarmos em ordem crescente ou decrescente (tanto faz), a soma do primeiro com o último termo será igual a soma do segundo com o penúltimo, assim como, a soma do terceiro com o antepenúltimo será igual a soma do quarto com o quinto.

Observe:

$1<2<3<4<6<8<9\\\\1+9=10\\2+8=10\\3+6=9\\4+5=9\\\\\\9>8>6>5>4>3>2>1\\\\9+1=10\\8+2=10\\6+3=9\\5+4=9$

Então, sabemos quais são os pares de números que as somas são iguais:

$(1,9)=(2,8)\\(3,6)=(4,5)$

Analisando o desenho, podemos ver que faltam 8 quadradinhos a serem preenchidos, 4 na vertical e 4 na horizontal. Teremos que preenchê-los com os pares que nós achamos.

Se na vertical existe um par que soma 10, na horizontal também precisará existir um par diferente que soma 10.

Se na horizontal existe um par que soma 9, na vertical também precisará existir um par diferente que soma 9.

Obs.: Os pares têm que ser diferentes, pois não podemos repetir números.

Portanto, na vertical teremos $10+9+7=26$ e na horizontal também.

Os números podem ser distribuídos de várias formas diferente, desde que eles cumpram os requisitos dos pares.

Exemplo:

$\begin{matrix}&&2&&\\&&8&&\\1&9&7&6&3\\&&4&&\\&&5&&\end{matrix}$

Soma na vertical: $2+8+7+4+5=26$

Soma na horizontal: $1+9+7+6+3=26$

Observe que na horizontal temos um par (1, 9) que soma 10 e um par (6, 3) que soma 9. Na vertical temos um par diferente (2, 8) que soma 10 e um par diferente (4, 5) que soma 9.

Outro modo de preencher o mesmo quadro:

$\begin{matrix}&&1&&\\&&3&&\\2&5&7&8&4\\&&9&&\\&&6&&\end{matrix}$

E a soma novamente dá 26, tanto na vertical quanto na horizontal.

Espero ter ajudado. Qualquer dúvida deixa nos comentários. Bons estudos! ♥️