Question

(OBMEP) Guantro numeros inteiros positivos e distintos, m,n,p,q, satisfazem a equação ( 7-m).
( 7-n).(7-p).(7-q)= 4, então a soma m+n+p+q e iqual a; 
 
 a) 10
 b) 21
 c) 24
 d) 26
 e) 28

Answer 1

Já que m,n,p,q são número inteiros, teremos a seguinte forma.

4=(-1)*(-2)*(1)*(2)

os dois lados estão iguais, agora é só fazer a conta.

$(7-m)+(7-n)+(7-p)+(7-q) = (-1)+(-2) +1 + 2 \\ -m -n -p -q = -1 -2 + 1 + 2 -7 -7 -7 -7 \\ -m-n-p-q=-7-7-7-7 (-1) \\ m+n+p+q=28$

Answer 2

i) O grande x da questão está no fato que os inteiros $m,\ n,\ p$ e $q$ são distintos. Portanto cada um dos fatores $(7-m), \ (7-n),\ (7-p)$ e $(7-q)$ são inteiros distintos. Por causa disso, temos que escrever 4 como o produto de quatro fatores inteiros distintos. A única forma de se fazer isso é:

$\boxed{4=1.2.(-1).(-2)}$

ii) Daí, igualando os fatores do primeiro membro da igualdade no enunciado com os quatro fatores acima, teremos:

$(7-m)(7-n)(7-p)(7-q)=1.2.(-1).(-2)\\ \\ \left\{ \begin{array}{l} 7-m=1\Rightarrow \boxed{m=6}\\ 7-n=2\Rightarrow \boxed{n=5}\\ 7-p=-1\Rightarrow \boxed{p=8}\\ 7-q=-2\Rightarrow \boxed{q=9}\end{array}\right.$

iii) Agora é só somar todos os valores encontrados acima:

$m+n+p+q=6+5+8+9\\ \\ \boxed{\boxed{m+n+p+q=28}}$

R: e) 28