Question

(OBMEP) Duas formigas partem do ponto A e vão até o ponto D, andando no sentindo indicado pelas flechas. A primeira percorre o semicírculo maior; a segunda, o segmento AB, o semicírculo menor e o segmento CD. Os pontos A, B, C e D estão alinhados e os segmentos AB e CD medem 1 cm cada um. Quantos centímetros a segunda formiga andou a menos que a primeira?​

Answer 1

Resposta:

A segunda formiga caminhou $2\pi - 2$ centímetros a menos que a primeira.

Ou, considerendo $\pi = 3$, caminhou 4cm a menos.

Explicação passo a passo:

Vamos lá, vou calcular a distância que cada formiga anda e depois analisar a diferença:

A primeira formiga faz o percurso direto de A para D, ou seja ela percorre metade do comprimento de uma circunferência. Considere $d_1$ a distância percorrida pela primeira formiga:

$d_1 = \dfrac{2 \pi R}{2}\\\\ \boxed{d_1 = \pi R}$

Sendo $R$ o raio da maior circunferência. Temos no final que a formiga 1 anda $\pi R$.

Agora, sendo $d_2$ a distância da segunda formiga.

Para a segunda formiga , ela primeiro caminha 1cm, depois percorre a semicírculo menor e depois mais 1cm. Mas note que o raio do semicírculo menor é $(R-2)$ , pois foi "removido" 1cm de cada lado do semicírculo.

$d_2 = 1 + \dfrac{2 \pi (R-2)} {2} + 1\\\\ \boxed{d_2 = 2 + \pi (R-2)}$

Agora faremos a diferença entre as distâncias para entender o quanto a primeira andou a mais que a segunda:

$d_1 - d_2 = \pi R - [2 + \pi(R - 2)]\\\\d_1 - d_2 = \pi R - 2 - \pi R + 2\pi\\\\d_1 - d_2 = 2\pi -2$

O resultado pode ser deixado em função de $\pi$ já que encontramos um valor absoluto, mas talvez por ser a prova da OBMEP, você possa escrever na resolução:

Considerando $\pi = 3$ ,

A distâcia que a segunda andou a menos que a primeira é:

$d_1 - d_2 = 2(3) - 2 = 4cm$

Espero ter ajudado!